Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 204 - nierówność kwadratowa z parametrem


Dla jakich wartości parametru m nierówność x^2-2x-m+1\leq 0 ma jedno rozwiązanie x=1?


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Trójmian kwadratowy musi mieć jeden pierwiastek:

\Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-m+1)=\\ =4-4(1-m)=4-4+4m=4m
\Delta=4m=0/:4 \\ m=0

Dla m=0 dostajemy nierówność:
x^2+2x+1\leq 0 \\ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2}=1
Rysunek pomocniczy
Dla m=0 nierówność x^2-2x-m+1\leq 0 ma jedno rozwiązanie x=1.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Nierówność kwadratowa o dodatnim współczynniku a (liczbie przy x2) będzie miała jedno rozwiązanie tylko w przypadku pokazanym na rysunku:

Rysunek pomocniczy

Dlaczego? Dlatego, że szukamy wartości mniejszych od zera (tutaj takich nie ma) oraz równych zero (tutaj tylko dla x=1). Zatem mamy szukane rozwiązanie x=1. aby trójmian miał jedno miejsce zerowe wyróżnik trójmianu musi być równy zeru:

Obliczamy wyróżnik

a=1\\ b=-2 \\ c=-m+1 \\ \Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-m+1)=\\ =4-4(1-m)=4-4+4m=4m

Wyróżnik musi być równy zeru, więc:

\Delta=4m=0/:4 \\ m=0

Dla m=0 dostajemy nierówność:

x^2+2x+1\leq 0 \\ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2}=1

Potwierdziliśmy, że dla m=0 trójmian ma jeden pierwiastek x=1, a nierówność ma tylko jedno rozwiązanie: x=1

ksiązki Odpowiedź

Dla m=0 nierówność x^2-2x-m+1\leq 0 ma jedno rozwiązanie x=1.

© medianauka.pl, 2010-02-11, ZAD-594


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.