Zadanie - Zastosowanie równań kwadratowych
Treść zadania:
Rozwiązać równanie \(\frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3\).
Rozwiązanie zadania
Warto na początku określić dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości \(x\), dla których równanie ma sens matematyczny.
\(1-2x\neq 0\)
\(-2x\neq -1/:(-2)\)
\(x\neq \frac{1}{2}\)
\(4x+1\neq 0\)
\(4x\neq -1/:4\)
\(x\neq -\frac{1}{4}\)
\(DR:R/ \lbrace -\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\rbrace\)
Zaczynamy od przeniesienia wszystkich wyrazów na lewą stronę równania i sprowadzenia ich do wspólnego mianownika: \((1-2x)(4x+1)\).
\(\frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3\)
\(\frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}+3=0\)
\(\frac{4x+1}{(1-2x)(4x+1)}+\frac{3(1-2x)}{(1-2x)(4x+1)}+\frac{3(1-2x)(4x+1)}{(1-2x)(4x+1)}=0\)
\(\frac{4x+1+3-6x+3(4x+1-8x^2-2x)}{(1-2x)(4x+1)}=0\)
\(\frac{-2x+4+3(-8x^2+2x+1)}{(1-2x)(4x+1)}=0\)
\(\frac{-2x+4-24x^2+6x+3}{(1-2x)(4x+1)}=0\)
\(\frac{-24x^2+4x+7}{(1-2x)(4x+1)}=0\)
\(-24x^2+4x+7=0\)
W ostatnim kroku "zniknął" ułamek. Jeżeli ułamek ma być równy zero, to znaczy, że jego licznik jest równy zero. Możemy więc zapisać ostatnie równanie w takiej postaci.
Otrzymaliśmy zwykłe równanie kwadratowe. Współczynniki trójmianu znajdującego się po lewej stronie równania są następujące:
\(a=-24\)
\(b=4\)
\(c=7\)
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
\(\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot (-24)\cdot 7=16+672=688\)
Aby znaleźć pierwiastek liczby \(688\) rozkładamy ją na czynniki:
\(688=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 43=2^2\cdot 2^2\cdot 43\)
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{688}=\sqrt{2^2\cdot 2^2\cdot 43}=2\cdot 2\cdot \sqrt{43} =4\sqrt{43}\)
Wyróżnik kwadratowy jest większy od zera, więc równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania. Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego:
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4-4\sqrt{43}}{2\cdot(-24)}=\frac{\cancel{-4}(1+\sqrt{43})}{\cancel{-4}\cdot 12}=\frac{1+\sqrt{43}}{12}\)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4+4\sqrt{43}}{2\cdot(-24)}=\frac{\cancel{-4}(1-\sqrt{43})}{\cancel{-4}\cdot 12}=\frac{1-\sqrt{43}}{12}\)
Oba rozwiązania należą do dziedziny równania.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-604
Zadania podobne
Zadanie nr 3.
Rozwiązać równanie kwadratowe:
a) \(x^2+4x-5=0\)
b) \(x^2-22x+121=0\)
c) \(x^2+2x+7=0\)
Zadanie nr 4.
Rozwiązać równanie:
a) \(x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0\)
b) \(x^2-10x-119=0\)
Zadanie nr 5.
Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby \(\sqrt{2}, \ \frac{1}{2}\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.
Zadanie nr 9 — maturalne.
Równość \((x\sqrt{2} - 2)^2 = (\sqrt{2} + 2)^2\) jest
A. prawdziwa dla \(x=\sqrt{2}\)
B. prawdziwa dla \(x=-\sqrt{2}\)
C. prawdziwa dla \(x=-1\)
D. fałszywa dla każdej liczby \(x\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
W każdym n-kącie wypukłym (n≥ 3) liczba przekątnych jest równa n(n-3)/2. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest
A. siedmiokąt.
B. dziesięciokąt.
C. dwunastokąt.
D. piętnastokąt.