Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 214 - Zastosowanie równań kwadratowych


Rozwiązać równanie \frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

1-2x\neq 0 \\ -2x\neq -1/:(-2) \\ x\neq \frac{1}{2} \\ 4x+1\neq 0 \\ 4x\neq -1/:4 \\ x\neq -\frac{1}{4} \\ DR:R/ \lbrace -\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\rbrace

\frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3\\ \frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}+3=0\\ \frac{4x+1}{(1-2x)(4x+1)}+\frac{3(1-2x)}{(1-2x)(4x+1)}+\frac{3(1-2x)(4x+1)}{(1-2x)(4x+1)}=0 \\ \frac{4x+1+3-6x+3(4x+1-8x^2-2x)}{(1-2x)(4x+1)}=0 \\ \frac{-2x+4+3(-8x^2+2x+1)}{(1-2x)(4x+1)}=0 \\ \frac{-2x+4-24x^2+6x+3}{(1-2x)(4x+1)}=0 \\ \frac{-24x^2+4x+7}{(1-2x)(4x+1)}=0 \\ -24x^2+4x+7=0

\Delta=4^2-4\cdot (-24)\cdot 7=16+672=688

\sqrt{\Delta}=\sqrt{688}=\sqrt{16\cdot 43}=4\sqrt{43}
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4-4\sqrt{43}}{2\cdot(-24)}=\frac{\cancel{-4}(1+\sqrt{43})}{\cancel{-4}\cdot 12}=\frac{1+\sqrt{43}}{12} \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4+4\sqrt{43}}{2\cdot(-24)}=\frac{\cancel{-4}(1-\sqrt{43})}{\cancel{-4}\cdot 12}=\frac{1-\sqrt{43}}{12}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Warto na początku określić dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których równanie ma sens matematyczny.

1-2x\neq 0 \\ -2x\neq -1/:(-2) \\ x\neq \frac{1}{2} \\ 4x+1\neq 0 \\ 4x\neq -1/:4 \\ x\neq -\frac{1}{4} \\ DR:R/ \lbrace -\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\rbrace

Zaczynamy od przeniesienia wszystkich wyrazów na lewą stronę równania i sprowadzenia ich do wspólnego mianownika: (1-2x)(4x+1)

\frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3\\ \frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}+3=0\\ \frac{4x+1}{(1-2x)(4x+1)}+\frac{3(1-2x)}{(1-2x)(4x+1)}+\frac{3(1-2x)(4x+1)}{(1-2x)(4x+1)}=0 \\ \frac{4x+1+3-6x+3(4x+1-8x^2-2x)}{(1-2x)(4x+1)}=0 \\ \frac{-2x+4+3(-8x^2+2x+1)}{(1-2x)(4x+1)}=0 \\ \frac{-2x+4-24x^2+6x+3}{(1-2x)(4x+1)}=0 \\ \frac{-24x^2+4x+7}{(1-2x)(4x+1)}=0 \\ -24x^2+4x+7=0

W ostatnim kroku "zniknął" ułamek. Jeżeli ułamek ma być równy zero, to znaczy, że jego licznik jest równy zero. Możemy więc zapisać ostatnie równanie w takiej postaci.

Otrzymaliśmy zwykłe równanie kwadratowe. Współczynniki trójmianu znajdującego się po lewej stronie równania są następujące:

a=-24\\ b=4\\ c=7

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot (-24)\cdot 7=16+672=688

Aby znaleźć pierwiastek liczby 688 rozkładamy ją na czynniki:

\begin{tabular}{c|c} 688 & 2 \\ 344 & 2 \\ 172 & 2 \\ 86 & 2 \\ 43 & 43 \\ 1 \end{tabular}

688=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 43=2^2\cdot 2^2\cdot 43  \\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{688}=\sqrt{2^2\cdot 2^2\cdot 43}=2\cdot 2\cdot \sqrt{43} =4\sqrt{43}

Wyróżnik kwadratowy jest większy od zera, więc równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania. Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego:

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4-4\sqrt{43}}{2\cdot(-24)}=\frac{\cancel{-4}(1+\sqrt{43})}{\cancel{-4}\cdot 12}=\frac{1+\sqrt{43}}{12} \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4+4\sqrt{43}}{2\cdot(-24)}=\frac{\cancel{-4}(1-\sqrt{43})}{\cancel{-4}\cdot 12}=\frac{1-\sqrt{43}}{12}

Oba rozwiązania należą do dziedziny równania.

ksiązki Odpowiedź

x_1=\frac{1-\sqrt{43}}{12}, \ x_2=\frac{1+\sqrt{43}}{12}

© Media Nauka, 2010-02-13


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy