Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 215 - wzory Viete'a i równanie kwadratowe


Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego x^2-x+m=0 jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

(x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2x_1_x2=\\ =(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-\frac{b}{a})^2-4\cdot \frac{c}{a}=\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}=
=\frac{(-1)^2}{1^2}-\frac{4m}{1}=1-4m
1-4m=17 \\ -4m=17-1 \\ -4m=16/:(-4)\\ m=-4
x^2-x-4=0
\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-4)=1+16=17\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-\sqrt{17}}{2} \\ x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+\sqrt{17}}{2}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Z warunków zadania wynika, że kwadrat różnicy pierwiastków równania jest równy 17, czyli:

(x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2

Skorzystaliśmy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Skorzystamy za chwilę z wzorów Viete'a:

x_1+x_2=-\frac{b}{a} \\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}

W naszych obliczeniach jednak zamiast sumy pierwiastków mamy do czynienia z sumą kwadratów pierwiastków. Możemy jednak to zmienić ponownie stosując wzór skróconego mnożenia:

x_1^2+x_2^2=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 tło tło tło

Dodaliśmy i odjęliśmy tutaj ten sam czynnik, zmieniło to jednak na tyle postać wyrażenia, że możemy stosować wzory Viete'a. Wstawiamy powyższe wyrażenie do naszego wzoru:

(x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2x_1_x2=\\ =(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-\frac{b}{a})^2-4\cdot \frac{c}{a}=\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}= tło tło tło tło tło tło tło

Na podstawie postaci równania x2-x+m=0 określamy współczynniki: a=1, b=-1, c=m

=\frac{(-1)^2}{1^2}-\frac{4m}{1}=1-4m

Wiemy z treści zadania, że kwadrat różnicy pierwiastków jest równy 17, możemy więc zapisać, że:

1-4m=17 \\ -4m=17-1 \\ -4m=16/:(-4)\\ m=-4

Nasze równanie przyjmuje postać:

x^2-x-4=0

Obliczamy wyróżnik trójmianu oraz pierwiastki:

\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-4)=1+16=17\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-\sqrt{17}}{2} \\ x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+\sqrt{17}}{2}

ksiązki Odpowiedź

x_1=\frac{1-\sqrt{17}}{2}, \ x_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}

© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-605


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.