Zadanie — wzory Viete'a — zastosowanie w zadaniach

Treść zadania:

Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa \(\frac{17}{4}\), a suma odwrotności pierwiastków jest równa \(\frac{3}{2}\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Szukamy równania w postaci \(ax^2+bx+c=0,\ a\neq 0\).

Musimy znaleźć wartości współczynników \(a, b, c\). Założyliśmy, że \(a\) jest różne od zera, gdyż tylko wtedy mamy do czynienia z równaniem kwadratowym.

Skorzystamy ze wzorów Viete'a:

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)

W warunkach zadania zamiast sumy pierwiastków mamy do czynienia z sumą kwadratów pierwiastków. Możemy jednak to zmienić stosując wzór skróconego mnożenia:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

\(x_1^2+x_2^2=\frac{17}{4}\)

\( x_1^2+x_2^2=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)

\((x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{17}{4}\)

Dodaliśmy i odjęliśmy tutaj ten sam czynnik, co wolno nam zrobić, aby otrzymać zdanie równoważne.

Skorzystajmy teraz z drugiego warunku zadania:

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{2}\)

\(\frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=\frac{3}{2}\)

\(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2}/\cdot x_1x_2 (x_1\neq 0, \ x_2\neq 0)\)

\(x_1+x_2=\frac{3}{2}x_1x_2/ \cdot \frac{2}{3}\)

\(x_1x_2=\frac{2}{3}(x_1+x_2)\)

Zauważmy, że warunki zadania określają odwrotności pierwiastków równania, czyli wykluczony jest przypadek, gdy choćby jeden z pierwiastków jest równy zeru.

Wyznaczoną wartość iloczynu pierwiastków wstawiamy do wzoru na sumę kwadratu pierwiastków (kolor niebieski)

\((x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{17}{4}\)

\((x_1+x_2)^2-2\cdot \frac{2}{3}(x_1+x_2)=\frac{17}{4}\)

\((x_1+x_2)^2-\frac{4}{3}(x_1+x_2)=\frac{17}{4}\)

Zastosujemy teraz podstawienie:

\(x_1+x_2=t\)

\(t^2-\frac{4}{3}t=\frac{17}{4}/\cdot 12\)

\(12t^2-4\cdot 4t=3\cdot 17\)

\(12t^2-16t-51=0\)

\(a=12,\ b=-16,\ c=-51\)

\(\Delta=b^2-4ac=(-16^2)-4\cdot 12\cdot (-51)=\)

\( =256+2448=2704\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{2704}=52\)

\( t_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{16-52}{24}=\frac{-36}{24}=-\frac{3}{2}\)

\(t_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{16+52}{24}=\frac{68}{24}=\frac{17}{4}\)

Mamy więc dwa przypadki:

Przypadek 1

Zastosujemy tutaj pierwszy wzór Viete'a.

\(t=-\frac{3}{2}\)

\(x_1+x_2=-\frac{3}{2}\)

\(-\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}/\cdot (-a)\)

\(b=\frac{3}{2}a\)

Nasze równanie przyjmuje postać:

\(ax^2+bx+c=0\)

\(ax^2+\frac{3}{2}ax+c=0\)

Musimy jeszcze wyrazić współczynnik c za pomocą współczynnika a. Skorzystamy z drugiego warunku zadania oraz obu wzorów Viete'a:

\(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2}\)

\(\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=\frac{3}{2}\)

\(-\frac{b}{\cancel{a}}\cdot \frac{\cancel{a}}{c}=\frac{3}{2}\)

\(-\frac{b}{c}=\frac{3}{2}\)

\(-\frac{\frac{3}{2}a}{c}=\frac{3}{2}/:(-\frac{3}{2})\)

\(\frac{a}{c}=-1\)\

\(\frac{a}{c}+1=0\)

\(\frac{a}{c}+\frac{c}{c}=0\)

\(\frac{a+c}{c}=0\)

\(a+c=0\)

\(a=-c\)

Nasze równanie przyjmuje postać:

\(ax^2+bx+c=0\)

\(ax^2+\frac{3}{2}ax-a=0/:a (a\neq 0)\)

\(x^2+\frac{3}{2}x-1=0\)

Przypadek 2

\(t=\frac{17}{4}\)

\(x_1+x_2=\frac{17}{4}\)

\(-\frac{b}{a}=\frac{17}{4}/\cdot (-a)\)

\(b=-\frac{17}{4}a\)

Nasze równanie przyjmuje postać:

\(ax^2+bx+c=0\)

\(ax^2-\frac{17}{4}ax+c=0\)

Musimy jeszcze wyrazić współczynnik \(c\) za pomocą współczynnika a. Skorzystamy z drugiego warunku zadania oraz obu wzorów Viete'a:

\(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2}\)

\(\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=\frac{3}{2}\)

\(-\frac{b}{\cancel{a}}\cdot \frac{\cancel{a}}{c}=\frac{3}{2}\)

\(-\frac{b}{c}=\frac{3}{2}\)

\(-\frac{-\frac{17}{4}a}{c}=\frac{3}{2}/\cdot 4\)

\(\frac{17a}{c}=6\)

\(\frac{17a}{c}-6=0\)

\(\frac{17a}{c}-\frac{6c}{c}=0\)

\(\frac{17a-6c}{c}=0\)

\(17a-6c=0\)

\(6c=17a/:6\)

\(c=\frac{17}{6}c\)

Nasze równanie przyjmuje postać:

\(ax^2+bx+c=0\)

\(ax^2-\frac{17}{4}ax+\frac{17}{6}a=0/:a (a\neq 0)\)

\(x^2-\frac{17}{4}x+\frac{17}{6}=0\)

Mamy więc dwa równania, które spełniają warunki zadania:

ksiązki Odpowiedź

\(x^2+\frac{3}{2}x-1=0\) lub \(x^2-\frac{17}{4}x+\frac{17}{6}=0\)

© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-607

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego \(x^2-x+m=0\) jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego \(x^2+dx+1=0\) jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie kwadratowe \(x^2+mx-3=0\), jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|<3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(4x^2−6mx+(2m+ 3)(m− 3)=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\), przy czym \(x_1<x_2\), spełniające warunek \((4x_1-4x_2-1)(4x_1-4x_2+1)<0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m+1)x−m^2+1=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) \((x_1\neq x_2)\), spełniające warunek \(x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=(2m +1)x^2+(m+2)x+m−3\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \((x_1- x_2)^2+5x_1x_2 \geq 1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Dane jest równanie kwadratowe \(x^2−(3m+2)x+2m^2+7m−15=0\) z niewiadomą \(x\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których różne rozwiązania \(x_1\) i \(x_2\)tego równania istnieją i spełniają warunek \(2x^2_1+5x_1x_2+2x^2_2=2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2-(m+1)x+m=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1\neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+2=\frac{1}{x_1^2} +\frac{1}{x_2^2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\neq 2\), dla których równanie

\(x^2+4x-\frac{m-3}{m-2}=0\)

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1, x_2\) spełniające warunek \(x_1^3+x_2^3>-28\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.