Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 219 - równanie dwukwadratowe


Rozwiązać równanie x^4+x^2=12


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

x^4+x^2=12 \\ x^2=t \\ t^2+t-12=0
\Delta_t=1+4\cdot 12=49\\ t_1=\frac{-1-7}{2}=\frac{-8}{2}=-4\\ t_2=\frac{-1+7}{2}=\frac{6}{2}=3
x^2=-4\\ x^2+4=0 \\ \Delta_x=0-16=-16<0
x^2=3\\ x^2-3=0 \\ (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0\\ \underline{x_1=\sqrt{3}, \ x_2=-\sqrt{3}}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy do czynienia ze zwykłym równaniem dwukwadratowym, w związku z czym stosujemy proste podstawienie za x2 nową zmienną t:

x^4+x^2=12\\ (x^2)^2+x^2-12=0 \\ x^2=t \\ t^2+t-12=0

Dalej już rozwiązujemy zwykłe równanie kwadratowe ze względu na zmienną t:

a=1\\ b=1 \\c=-12 \\ \Delta_t=b^2-4ac=1+4\cdot 12=49\\ \sqrt{\Delta_t}=\sqrt{49}=7\\ t_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta_t}}{2a}=\frac{-1-7}{2}=\frac{-8}{2}=-4\\ t_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta_t}}{2a}=\frac{-1+7}{2}=\frac{6}{2}=3

Wracamy do zmiennej x. Mamy dwa równania:

x^2=-4\\ x^2+4=0 \\ \Delta_x=0-16=-16<0

W tym przypadku równanie nie ma rozwiązania, gdyż wyróżnik jest ujemny (można to było stwierdzić od razu, gdyż nie ma takiej liczby, dla której kwadrat jest ujemny)

Drugie równanie:

x^2=3\\ x^2-3=0 \\ (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0\\ x_1=\sqrt{3}, \ x_2=-\sqrt{3}

Skorzystaliśmy tutaj z rozkładu trójmianu na czynniki liniowe za pomocą wzoru skróconego mnożenia a2-b2=(a+b)(a-b)

Jest to rozwiązanie naszego równania dwukwadratowego:

ksiązki Odpowiedź

x_1=\sqrt{3}, \ x_2=-sqrt{3}

© Media Nauka, 2010-02-13


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy