Zadanie - równanie dwukwadratowe

Treść zadania:

Rozwiązać równanie \(8x^4-6x^2+1=0\)


ksiązki Rozwiązanie zadania

Mamy do czynienia z równaniem dwukwadratowym, w związku z tym stosujemy proste podstawienie:

\(8x^4-6x^2+1=0\)

\(8(x^2)^2-6x^2+1=0\)

\(x^2=t\)

\(8t^2-6t+1=0\)

Teraz rozwiązujemy zwykłe równanie kwadratowe:

\(a=8,\ b=-6,\ c=1\)

\(\Delta_t=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot 8=\)

\(\sqrt{\Delta_t}=\sqrt{4}=2\)

\(t_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta_t}}{2a}=\frac{6-2}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}\)

\(t_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta_t}}{2a}=\frac{6+2}{16} =\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\)

Wracamy do zmiennej \(x\). Mamy wówczas do rozwiązania dwa równania:

\(x^2=\frac{1}{4}\)

\(x^2-\frac{1}{4}=0\)

\((x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})=0\)

\(x_1=\frac{1}{2}, \ x_2=-\frac{1}{2}\)

Skorzystaliśmy tutaj z rozkładu trójmianu na czynniki liniowe za pomocą wzoru skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\).

Drugie równanie:

\(x^2=\frac{1}{2}\)

\(x^2-\frac{1}{2}=0\)

\((x-\frac{1}{\sqrt{2}})(x+\frac{1}{\sqrt{2}})=0\)

\(x_3=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ x_4=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(x_3=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}, \ x_4=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}\)

\( x_3=\frac{\sqrt{2}}{2}, \ x_4=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Skorzystaliśmy tutaj z rozkładu trójmianu na czynniki liniowe za pomocą wzoru skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) i pozbyliśmy się niewymierności z mianownika.

Równanie dwukwadratowe ma więc cztery rozwiązania:

ksiązki Odpowiedź

\(x_1=\frac{1}{2}, \ x_2=-\frac{1}{2}, \ x_3=\frac{\sqrt{2}}{2}, \ x_4=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-610

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie \(x^4+x^2=12\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.