Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 225 - równanie z parametrem


Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania x^2-mx-m-1=0 jest najmniejsza.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

x^2-mx-m-1=0 \\\Delta=m^2+4m+4=(m+2)^2\geq 0

Rysunek pomocniczy

m\in R \\ \sqrt{\Delta}=m+2\\ x_1=\frac{m-(m+2)}{2}=-1\\ x_2=\frac{m+m+2}{2}=\frac{2m+2}{2}=m+1
x_1^2+x_2^2=(-1)^2+(m+1)^2=m^2+2m+2=f(m)

Funkcja f(m) ma najmniejszą wartość w punkcie mw równą fw(m), gdzie W(mw,fw(m)) jest wierzchołkiem paraboli.
\Delta_m=2^2-4\cdot2=-4 \\ m_w=-\frac{2}{2}=-1 \\ f_w(m_w)=-\frac{-4}{4}=1
Dla m=-1 suma kwadratów pierwiastków równania jest najmniejsza - równa 1.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zanim obliczymy sumę kwadratów pierwiastków równania, musimy znaleźć te pierwiastki. Mamy postać równania kwadratowego. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

x^2-mx-m-1=0 \\ a=1\\ b=-m \\c=-m-1 \\ \Delta=b^2-4ac=\\ =(-m)^2-4\cdot 1\cdot (-m-1)=m^2+4m+4=(m+2)^2

Aby równanie miało pierwiastki (jeden podwójny lub dwa różne), wyróżnik trójmianu musi być większy od zera lub równy zero.

\Delta\geq 0\\ (m+2)^2\geq 0

Powyższy trójmian ma jedno miejsce zerowe (m=-2), ramiona paraboli skierowane są do góry (współczynnik przy m2 jest dodatni), interesują nas wartości dodatnie lub równe zero. Rozwiązanie odczytujemy z wykresu:

Rysunek pomocniczy

Zatem dla każdej wartości m równanie x2-mx-m-1=0 ma dwa pierwiastki lub jeden pierwiastek podwójny. Obliczamy ich wartość:

\Delta=(m+2)^2 \\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{(m+2)^2}=m+2\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{m-(m+2)}{2}=-1\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{m+m+2}{2}=\frac{2m+2}{2}=m+1

Przechodzimy do sedna zadania. Mamy znaleźć taką wartość parametru m, aby suma kwadratów pierwiastków równania była najmniejsza. Obliczamy więc sumę kwadratów pierwiastków:

x_1^2+x_2^2=(-1)^2+(m+1)^2=1+m^2+2m+1=m^2+2m+2

Otrzymaliśmy pewną funkcję zmiennej m:

f(m)=m^2+2m+2

Jej wykresem jest parabola, której ramiona skierowane są do góry. Funkcja ta (funkcja kwadratowa) ma najmniejszą wartość w punkcie mw równą fw(m), gdzie W(mw,fw(m)) jest wierzchołkiem paraboli. Mówiąc prościej: współrzędne wierzchołka tej paraboli stanowią rozwiązanie zadania, gdyż w tym punkcie funkcja przyjmuje najmniejszą wartość. Znamy wzór na współrzędne wierzchołka:

x_w=-\frac{b}{2a} \\ y_w=-\frac{\Delta}{4a}

Wykonujemy więc obliczenia, pamiętając, że analizujemy funkcję f(m):

\Delta_m=2^2-4\cdot2=-4 \\ x_w=m_w=-\frac{2}{2}=-1 \\ y_w=f_w(m)=-\frac{-4}{4}=1

ksiązki Odpowiedź

Dla m=-1 suma kwadratów pierwiastków równania jest najmniejsza - równa 1.

© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-615


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.