Nauka » Matematyka » Parabola Wartość bezwzględna

Zadanie - wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną

Treść zadania:

Sporządzić wykres funkcji .

Rozwiązanie zadania

Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

\(|x|=\begin{cases} x \ dla \ x\geq 0 \\ -x \ dla \ x< 0 \end{cases}\)

Mamy więc dwa przypadki:

Przypadek 1

Dla \(x^2-x\geq 0\) możemy opuścić wartość bezwzględną. Zbadajmy, dla jakich wartości x możemy to zrobić. Musimy w tym celu rozwiązać nierówność kwadratową.

\(x^2-x\geq 0 \\ x(x-1)\geq 0 \\ x_1=0 \\ x_2=1\)

Rozwiązanie odczytujemy z wykresu. Ponieważ współczynnik \(a>0\) ramiona paraboli skierowane są do góry, parabola przecina oś \(OX\) w punktach \(0\) i \(1\). Szukamy wartości funkcji większych lub równych zero.

Rysunek pomocniczy

Wykres naszej funkcji będziemy zatem sporządzać w przedziale:

\(x\in (-\infty;0\rangle \cup \langle 1;+\infty)\)

Dla wyżej wyznaczonych wartości zmiennej \(x\) możemy opuścić wartość bezwzględną i wówczas otrzymujemy funkcję:

\(f(x)=|x^2-x|-2\)

\(f(x)=x^2-x-2\)

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych:

\(x_w=-\frac{b}{2a}\)
\(y_w=-\frac{\Delta}{4a}\)

Mamy więc:

\(x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}\)

\(y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{9}{4}=-2\frac{1}{4}\)

Wyznaczamy miejsca zerowe. Warto jeszcze wyznaczyć punkt przecięcia się paraboli z osią \(OY\):

\(\Delta=b^2-4ac=1+8=9\)

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-3}{2}=-1\)

\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+3}{2}=2 \\ f(0)=0^2-0-2=-2\)

Podsumowując: mamy wyznaczone przedziały, w których będziemy sporządzać wykres (przedziały wyznaczą pionowe linie przerywane), miejsca zerowe, wierzchołek oraz punkt przecięcia się paraboli z osią \(OY\).

Wykres funkcji f(x)=|x^2-x|-2 - etap 1

Przypadek 2

Dla \(x^2-x<0\). Rozwiązanie odczytujemy z wykresu:

\(x(x-1)<0\)

Rozwiązanie odczytujemy z wykresu:

Rysunek pomocniczy

Zatem dla \(x\) należącego do przedziału \((0;1)\) możemy opuścić wartość bezwzględną zmieniając znak wyrażenia pod wartością bezwzględną na przeciwny:

\(f(x)=-x^2+x-2\)

\(\Delta=b^2-4ac=1-8=-7<0\)

\(f(0)=-0^2+0-2=-2\)

\(x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\)

\(y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{-7}{-4}=-1\frac{3}{4}\)

Ponieważ wyróżnik naszego trójmianu jest ujemny, funkcja nie posiada miejsc zerowych.

Wykres naszej funkcji będziemy zatem sporządzać w przedziale:

\(x\in (0;1)\)

Ponieważ nie ma miejsc zerowych, a wykreślamy krzywą, potrzebujemy więc trzeciego punktu. Obliczmy wartość funkcji w punkcie na przykład \(x=1\).

\(f(1)=-1+1-2=-2\)

Podsumowując: mamy wyznaczony przedział, w którym będziemy sporządzać wykres (przedział wyznaczą pionowe linie przerywane), wierzchołek oraz punkt przecięcia się paraboli z osią \(OY\). wiemy też, że ramiona paraboli skierowane są w dół. Wykres sporządzamy na uprzednim układzie współrzędnych:

Wykres funkcji f(x)=|x^2-x|-2 - etap 2