Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 249 - układ równań - metoda przeciwnych współczynników


Rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników:
a) \begin{cases} \sqrt{2}x-\sqrt{6}y=\sqrt{5}\\ 2x+4y=\sqrt{10} \end{cases}
b) \begin{cases} 2x+y=-\frac{1}{2}\\ -4x-2y=1 \end{cases}
c) \begin{cases} 3x-y=5\\-6x+2y=-1 \end{cases}


ksiązki a) Rozwiązanie szczegółowe

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim dobraniu współczynników przy jednej z niewiadomych, aby były liczbami przeciwnymi. W naszym przypadku uzyskamy ten cel, mnożąc obie strony pierwszego równania przez liczbę -\sqrt{2}

\begin{cases} \sqrt{2}x-\sqrt{6}y=\sqrt{5}/\cdot -\sqrt{2}\\ 2x+4y=\sqrt{10} \end{cases}\\ \begin{cases} -2x+\sqrt{12}y=-\sqrt{10}\\ \ \ 2x+4y=\sqrt{10} \end{cases}

Przy zmiennej x mamy teraz liczby przeciwne. Możemy do siebie dodać równania stronami, uwzględniając dodatkowo rachunki \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}:

\underline{_+\begin{cases}  -2x+2\sqrt{3}y=-\sqrt{10}\\ \ \ 2x+4y=\sqrt{10} \end{cases}}\\ -\cancel{2x}+\cancel{2x}+2\sqrt{3}y+4y=-\cancel{\sqrt{10}}+\cancel{\sqrt{10}}\\ (4+2\sqrt{3})y=0/:(4+2\sqrt{3})\\ y=0

Wyznaczoną wartość zmiennej y wstawiamy do dowolnego równania. My wykorzystamy pierwsze równanie:

\begin{cases} \sqrt{2}x-\sqrt{6}y=\sqrt{5}\\ y=0 \end{cases}\\ \begin{cases} \sqrt{2}x-0=\sqrt{5}/:\sqrt{2}\\ y=0 \end{cases}\\ \begin{cases}x=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\\ y=0 \end{cases}\\ \begin{cases}x=\frac{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}\\ y=0 \end{cases}\\ \begin{cases}x=\frac{\sqrt{10}}{2}\\ y=0 \end{cases}

ksiązki Odpowiedź

\begin{cases}x=\frac{\sqrt{10}}{2}\\ y=0 \end{cases}

ksiązki b) Rozwiązanie szczegółowe

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim dobraniu współczynników przy jednej z niewiadomych, aby były liczbami przeciwnymi. W naszym przypadku uzyskamy ten cel, mnożąc obie strony pierwszego równania przez liczbę 2

\begin{cases} 2x+y=-\frac{1}{2}/\cdot 2 \\ -4x-2y=1 \end{cases}\\ \begin{cases} 4x+2y=-1\\ -4x-2y=1 \end{cases}

Przy zmiennej x mamy teraz liczby przeciwne. Możemy do siebie dodać równania stronami:

\underline{_+\begin{cases}  4x+2y=-1\\ -4x-2y=1 \end{cases}}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0=0

Otrzymaliśmy równość prawdziwą dla każdej wartości zmiennych x i y, to znaczy, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (układ równań zależnych)

ksiązki Odpowiedź

Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.

ksiązki c) Rozwiązanie szczegółowe

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim dobraniu współczynników przy jednej z niewiadomych, aby były liczbami przeciwnymi. W naszym przypadku uzyskamy ten cel, mnożąc obie strony pierwszego równania przez liczbę 2

\begin{cases} 3x-y=5/\cdot 2 \\-6x+2y=-1 \end{cases}\\ \begin{cases} 6x-2y=10\\-6x+2y=-1 \end{cases}

Przy zmiennej y mamy teraz liczby przeciwne. Możemy do siebie dodać równania stronami:

\underline{_+\begin{cases}  6x-2y=10\\-6x+2y=-1\end{cases}}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0=9

Otrzymaliśmy równość nieprawdziwą, to znaczy, że układ równań nie ma rozwiązań (układ równań sprzecznych)

ksiązki Odpowiedź

Układ równań nie ma rozwiązań.

© Media Nauka, 2010-02-26


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy