Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 258 - półpłaszczyzna w układzie współrzędnych


Opisać za pomocą nierówności półpłaszczyznę przedstawioną na rysunku:
półpłaszczyzna w układzie współrzędnych


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

(1,0), \ (-1,1) \\ \underline{_+ \begin{cases}0=a+b \\ 1=-a+b \end{cases}} \\ 1=2b/:2 \\ b=\frac{1}{2}
\begin{cases}0=a+b \\ b=\frac{1}{2} \end{cases} \\\begin{cases} 0=a+\frac{1}{2} \\ b=\frac{1}{2} \end{cases} \\ \begin{cases} a=-\frac{1}{2} \\ b=\frac{1}{2} \end{cases}
Równanie prostej wyznaczającej półpłaszczyznę:
y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}
Szukana nierówność:
y\geq -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Najpierw musimy znaleźć równanie prostej. Wiemy, że przechodzi przez punkty o współrzędnych (1,0) oraz (-1,1). Równanie prostej ma postać:

y=ax+b

Wstawiamy więc do równania prostej współrzędne obu punktów, wyznaczając w ten sposób współczynniki a oraz b.

(1,0), \ (-1,1)\\ y=ax+b \\ \begin{cases}0=a\cdot 1+b \\ 1=a\cdot(-1)+b \end{cases} \\ \underline{_+ \begin{cases}0=a+b \\ 1=-a+b \end{cases}} \\ 1=2b/:2 \\ b=\frac{1}{2} tło tło tło tło tło tło tło tło

Otrzymaną wartość współczynnika b wstawiamy do pierwszego równania układu:

\begin{cases}0=a+b \\ b=\frac{1}{2} \end{cases} \\\begin{cases} 0=a+\frac{1}{2} \\ b=\frac{1}{2} \end{cases} \\ \begin{cases} a=-\frac{1}{2} \\ b=\frac{1}{2} \end{cases}

Zatem równanie naszej prostej ma postać:

y=ax+b \\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}

Spójrzmy teraz na wykres. Półpłaszczyzna leży powyżej prostej, a więc zaznaczono wszystkie wartości większe od tych, które leżą na prostej. Ponieważ prosta nie jest narysowana linią przerywaną, więc też należy do rozwiązania nierówności (nierówność nie jest ostra). Możemy więc już napisać rozwiązanie:

ksiązki Odpowiedź

y\geq -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}

© Media Nauka, 2010-02-27


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy