Zadanie - półpłaszczyzna w układzie współrzędnych
Treść zadania:
Opisać za pomocą nierówności półpłaszczyznę przedstawioną na rysunku:
Rozwiązanie zadania
Najpierw musimy znaleźć równanie prostej. Wiemy, że przechodzi przez punkty o współrzędnych (1,0) oraz (-1,1). Równanie prostej ma postać:
Wstawiamy więc do równania prostej współrzędne obu punktów, wyznaczając w ten sposób współczynniki \(a\) oraz \(b\).
\((1,0),\ (-1,1)\)
\(y=ax+b\)
\(\begin{cases}0=a\cdot 1+b\\1=a\cdot (-1)+b \end{cases}\)
\(\underline{_+ \begin{cases}0=a+b \\ 1=-a+b \end{cases}}\)
\(1=2b/:2\)
\(b=\frac{1}{2}\)
Otrzymaną wartość współczynnika \(b\) wstawiamy do pierwszego równania układu:
\(\begin{cases}0=a+b \\ b=\frac{1}{2} \end{cases}\)
\(\begin{cases} 0=a+\frac{1}{2} \\ b=\frac{1}{2} \end{cases}\)
\(\begin{cases} a=-\frac{1}{2} \\ b=\frac{1}{2} \end{cases}\)
Zatem równanie naszej prostej ma postać:
\(y=ax+b \\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\)
Spójrzmy teraz na wykres. Półpłaszczyzna leży powyżej prostej, a więc zaznaczono wszystkie wartości większe od tych, które leżą na prostej. Ponieważ prosta nie jest narysowana linią przerywaną, więc też należy do rozwiązania nierówności (nierówność nie jest ostra). Możemy więc już napisać rozwiązanie:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-27, ZAD-648
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dana jest nierówność \(5x-10y>1\). Dla jakich wartości parametru \(a\) para liczb \((-1,a)\) spełnia nierówność?
Zadanie nr 2.
Wyznaczyć zbiór rozwiązań nierówności:
a) \(-y-x\geq -1\)
b) \(2y-6x-4<0\)
c) \(y+x\geq 2y+x+1\)