Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 265 - nierówność liniowa z wartością bezwzględną


Rozwiązać nierówność 2-|x+1|>3+x


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

1) \ x+1\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -1
2-|x+1|>3+x\\ 2-(x+1)>3+x\\ 2-x-1>3+x\\ -x-x>3-2+1 \\ -2x>2/:(-2) \\ x<-1
Rysunek pomocniczy
x\in \empty

2) \ x+1< 0 \Leftrightarrow x<-1
2-|x+1|>3+x\\ 2+x+1>3+x\\ x-x>3-3 \\ 0>0

Nierówność nie ma rozwiązania.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zgodnie z określeniem wartości bezwzględnej mamy dwa przypadki:

x=\begin{cases} x, \ dla \ x\geq 0 \\ -x, \ dla \ x<0 \end{cases}

Oto one:

Przypadek 1, gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest liczbą dodatnią lub zerem:

x+1\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -1

Możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną w naszej nierówności bez zmiany znaku:

2-|x+1|>3+x\\ 2-(x+1)>3+x\\ 2-x-1>3+x\\ -x-x>3-2+1 \\ -2x>2/:(-2) \\ x<-1

Pamiętamy, że to rozwiązanie jest prawdziwe tylko dla x większych lub równych -1. Zaznaczamy część wspólną obu zbiorów:

Rysunek pomocniczy

Częścią wspólna obu zbiorów jest zbiór pusty. Nierówność nie ma więc rozwiązania w tym przypadku.

Przypadek 2, gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest liczbą ujemną:

x+1< 0 \Leftrightarrow x<-1

Możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną w naszej nierówności pamiętając o zmianie znaku:

2-|x+1|>3+x\\ 2-[-(x+1)]>3+x\\ 2+x+1>3+x\\ x-x>3-3 \\ 0>0

Otrzymaliśmy nierówność sprzeczną.

W obu przypadkach nie znaleźliśmy rozwiązania, zatem:

ksiązki Odpowiedź

Nierówność nie ma rozwiązania.

© Media Nauka, 2010-03-02


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy