Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 276 - równanie liniowe z wartością bezwzględną


Rozwiązać równanie |-3x+1|=2x+4


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

1) -3x+1\geq 0 \\ -3x\geq -1/:(-3) \\ x\leq \frac{1}{3}

|-3x+1|=2x+4 \\ -3x+1=2x+4 \\ -3x-2x=4-1\\ -5x=3/:(-5)\\ x=-\frac{3}{5}

2) -3x+1<0 \\ -3x<-1/:(-3) \\ x<\frac{1}{3}

|-3x+1|=2x+4 \\ 3x-1=2x+4\\3x-2x=4+1\\ x=5

Rozwiązaniem równania są liczby -\frac{3}{5},\ 5

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zgodnie z określeniem wartości bezwzględnej mamy dwa przypadki:

x=\begin{cases} x, \ dla \ x\geq 0 \\ -x, \ dla \ x<0 \end{cases}

Oto one:

Przypadek 1, gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest liczbą dodatnią lub zerem:

-3x+1\geq 0 \\ -3x\geq -1/:(-3) \\ x\leq \frac{1}{3}

Możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną w naszym równaniu bez zmiany znaku:

|-3x+1|=2x+4 \\ -3x+1=2x+4 \\ -3x-2x=4-1\\ -5x=3/:(-5)\\ x=-\frac{3}{5}

Pamiętamy, że to rozwiązanie jest prawdziwe tylko dla x mniejszych lub równych -1/3. Czy liczba -3/5 jest mniejsza od -1/3? Sprawdźmy:

Ponieważ -\frac{3}{5}<-\frac{1}{3}, \ -\frac{9}{15}<-\frac{5}{15} liczba -3/5 jest rozwiązaniem równania.

Przypadek 2, gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest liczbą ujemną:

-3x+1<0 \\ -3x<-1/:(-3) \\ x<\frac{1}{3}

Możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną w naszym równaniu zmieniając znak wyrażenia na przeciwny:

|-3x+1|=2x+4 \\ -(-3x+1)=2x+4 \\ 3x-1=2x+4\\3x-2x=4+1\\ x=5

Pamiętamy, że to rozwiązanie jest prawdziwe tylko dla x większych od -1/3. Liczba 5 jest większa od -1/3 więc jest rozwiązaniem równania.

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem równania są liczby -\frac{3}{5},\ 5

© Media Nauka, 2010-03-06


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy