Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 292 - wzajemne położenie prostych


Znaleźć równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD, jeśli wiadomo, że współrzędne wierzchołków są liczbami całkowitymi.
równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

1) Bok AB:
A(2,0), B(4,2)\\ y=ax+b\\ \underline{_-\begin{cases}0=2a+b\\ 2=4a+b\end{cases}}\\ -2=-2a/:2\\ a=1 \\ 0=2a+b\\ 0=2\cdot1+b\\ b=-2\\ y=x-2

2) Bok CD:
y=a_1x+b_1\\ a_1=1\\ y=x+b_1\\ D(0,2)\\ 2=0+b_1\\ b_1=2\\ y=x+2

3) Bok BC:
y=a_2x+b_2\\ a_2=-\frac{1}{1}=-1\\ y=-x+b_2\\ B(4,2)\\ 2=-1\cdot 4+b_2\\ b_2=6\\ y=-x+6

4) Bok AD:
y=a_3x+b_3\\ a_3=-\frac{1}{1}=-1\\ y=-x+b_3\\ A(2,0)\\ 0=-1\cdot 2+b_3\\ b_3=2\\ y=-x+2

Odp:
y=-x+2 \\ y=-x+6\\ y=x+2\\ y=x-2

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Znajdziemy najpierw równanie prostej zawierającej bok AB. Odczytujemy współrzędne tych punktów (dzięki temu, że wiemy, że są to liczby całkowite nie musimy używać przybliżeń), następnie wstawiamy współrzędne tych punktów kolejno do ogólnego równania prostej y=ax+b i wyznaczamy współczynniki a oraz b:

A(2,0), B(4,2)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}0=a\cdot 2+b\\ 2=a\cdot 4+b\end{cases}\\ \underline{_-\begin{cases}0=2a+b\\ 2=4a+b\end{cases}}\\ -2=-2a\\ 2a=2/:2\\a=1 \\ 0=2a+b\\ 0=2\cdot1+b\\ b=-2\\ y=x-2 tło tło tło tło tło tło tło tło

Teraz wystarczy skorzystać z własności położenia prostych na płaszczyźnie, pamiętając że proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe prostych, a proste prostopadłe mają współczynniki kierunkowe spełniające warunek:

a_1=-\frac{1}{a_2}

Znajdziemy teraz prostą równoległą do y=x-2, która zawiera bok CD. Oznaczmy równanie szukanej prostej przez y=a1x+b1. Współczynniki kierunkowe obu prostych muszą być sobie równe, a więc są równe liczbie 1. Wystarczy teraz podstawić współrzędne punktu C lub D do równania szukanej prostej i w ten sposób wyznaczymy współczynnik b1:

y=a_1x+b_1\\ a_1=1\\ y=x+b_1\\ D(0,2)\\ 2=0+b_1\\ b_1=2\\ y=x+2

Znajdziemy teraz prostą prostopadłą do y=x-2, która zawiera bok BC. Oznaczmy równanie szukanej prostej przez y=a2x+b2. Współczynniki kierunkowe obu prostych muszą być przeciwne i odwrotne, a więc są równe liczbie -1. Wystarczy teraz podstawić współrzędne punktu B lub C do równania szukanej prostej i w ten sposób wyznaczymy współczynnik b2:

y=a_2x+b_2\\ a_2=-\frac{1}{1}=-1\\ y=-x+b_2\\ B(4,2)\\ 2=-1\cdot 4+b_2\\ b_2=6\\ y=-x+6

Znajdziemy teraz prostą prostopadłą do y=x-2, która zawiera bok AD. Oznaczmy równanie szukanej prostej przez y=a3x+b3. Współczynniki kierunkowe obu prostych muszą być przeciwne i odwrotne, a więc są równe liczbie -1. Wystarczy teraz podstawić współrzędne punktu A lub D do równania szukanej prostej i w ten sposób wyznaczymy współczynnik b3:

y=a_3x+b_3\\ a_3=-\frac{1}{1}=-1\\ y=-x+b_3\\ A(2,0)\\ 0=-1\cdot 2+b_3\\ b_3=2\\ y=-x+2

ksiązki Odpowiedź

y=-x+2 \\ y=-x+6\\ y=x+2\\ y=x-2

© Media Nauka, 2010-03-11

Zadania podobne

kulkaZadanie 290 - wzajemne położenie prostych w układzie
Dana jest prosta o równaniu y=-7x+5. Znaleźć równanie prostej równoległej do tej prostej, przechodzącej przez początek układu współrzędnych.


kulkaZadanie 291 - wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie
Dana jest prosta o równaniu y=5x+\frac{1}{5}. Znaleźć równanie prostej prostopadłej do tej prostej, przechodzącej przez punkt A(1,-1).


kulkaZadanie 293 - wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie
Znaleźć równania wszystkich prostych prostopadłych przechodzących przez punkty A(1,2), B(2,-1), C(-1,3).


kulkaZadanie 294 - wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie
Znaleźć równanie prostej, która zawiera wysokość w trójkącie ABC przedstawionym na poniższym rysunku:
wysokość w trójkącie ABC w układzie współrzędnych


kulkaZadanie maturalne nr 20, matura 2016 (poziom podstawowy)
Proste opisane równaniami y=\frac{2}{m-1}x+m-2 oraz y=mx+\frac{1}{m+1} są prostopadłe, gdy:

A. m=2
B. m=1/2
C. m=1/3
D. m=-2


kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Punkty A=(30,32) i B =(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.


kulkaZadanie maturalne nr 18, matura 2015 (poziom podstawowy)
Prosta l o równaniu y=m2x+3 jest równoległa do prostej k o równaniu y=(4m-4)x-3. Zatem:

A. m=2
B. m=-2
C. m=-2-2\sqrt{2}
D. m=-2+2\sqrt{2}


kulkaZadanie maturalne nr 19, matura 2015 (poziom podstawowy)
Proste o równaniach: y=2mx-m2-1 oraz y=4m2x+m2+1 są prostopadłe dla:

A. m=-1/2
B. m=1/2
C. m=1
D. m=2


kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

A. \frac{\sqrt{5}}{5}
B. \frac{4\sqrt{5}}{5}
C. \frac{4}{5}
D. 4



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy