Nauka » Matematyka » Wzory skróconego mnożenia Usuwanie niewymierności z mianownika

Zadanie - usuwanie niewymierności z mianownika

Treść zadania:

Pozbyć się niewymierności z mianownika

a) \(\frac{7}{1-\sqrt{7}}\)

b) \(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)

Rozwiązanie części a)

Aby pozbyć się niewymierności z mianownika (w mianowniku nie powinno być pierwiastka), musimy licznik i mianownik ułamka pomnożyć przez \(1+\sqrt{7}\). Będziemy mogli wówczas skorzystać z wzoru skróconego mnożenia:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

Mamy więc:

\(\frac{7}{1-\sqrt{7}}=\frac{7(1+\sqrt{7})}{(1-\sqrt{7})(1+\sqrt{7})}=\frac{7+7\sqrt{7}}{1^2-(\sqrt{7})^2}\)

\(=\frac{7+7\sqrt{7}}{1-7}=\frac{7+7\sqrt{7}}{-6}=-\frac{7+7\sqrt{7}}{6}\)

Odpowiedź

\(\frac{7}{1-\sqrt{7}}=-\frac{7+7\sqrt{7}}{6}\)

Rozwiązanie części b)

Aby pozbyć się niewymierności z mianownika (w mianowniku nie powinno być pierwiastka), musimy licznik i mianownik ułamka pomnożyć przez \((\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})\).

\(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{1\cdot (\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}=\)

Możemy więc zastosować wzór skróconego mnożenia:

\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

Widzimy, że \(a=\sqrt{2}+\sqrt{3}\), natomiast \(b=\sqrt{5}\). Stosujemy więc wzór i otrzymujemy:

\(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}\)

Dla fragmentu wyrażenia zaznaczonego kolorem zielonym możemy zastosować inny wzór skróconego mnożenia:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Mamy więc:

\(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(\sqrt{2})^2+2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+(\sqrt{3})^2-5}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2+2\sqrt{6}+3-5}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}\)

Nadal mamy pierwiastek w mianowniku, ale już tylko jeden. Wystarczy już tylko pomnożyć licznik i mianownik ułamka przez ten pierwiastek.

\(\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})\cdot \sqrt{6}}{2\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{12}+\sqrt{18}-\sqrt{30}}{2\cdot 6}=\)

\(=\frac{\sqrt{3\cdot 4}+\sqrt{2\cdot 9}-\sqrt{30}}{12}=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}\)

Odpowiedź

\(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}\)

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Uprościć wyrażenie \(W=\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}\), wiedząc, że \(x>-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.