Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 442 - granica funkcji na podstawie definicji Cauchy'ego


Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

|f(x)-g|<\varepsilon \\ |5x-7-3)|<\varepsilon \\ |5x-10|<\varepsilon \\ 5|x-2|<\varepsilon \\ |x-2|<\frac{\varepsilon}{5}
Warunek |f(x)-g|<\varepsilon jest spełniony, gdy |x-2|<\frac{\varepsilon}{5} , czyli gdy x należy do sąsiedztwa S(2,ε/5), co należało dowieść.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wykażemy, że dla każdego dodatniego ε istnieje takie sąsiedztwo S punktu x0=2, że dla każdego x z tego sąsiedztwa spełniona jest nastepująca nierówność |f(x)-g|<ε

Z treści zadania wynika że granicą naszej funkcji jest g=3, zatem:

|f(x)-g|<\varepsilon \\ |5x-7-3)|<\varepsilon \\ |5x-10|<\varepsilon \\ 5|x-2|<\varepsilon \\ |x-2|<\frac{\varepsilon}{5}

Przyjrzyjmy się ostatniemu wyrażeniu. Skorzystamy tu z własności wartości bezwzględnej:

|x|<a\Leftrightarrow -a<x<a

Mamy więc:

|x-2|<\frac{\varepsilon}{5} \\ -\frac{\varepsilon}{5} < x-2 < \frac{\varepsilon}{5} \\ 2-\frac{\varepsilon}{5} < x < 2+\frac{\varepsilon}{5}

Co możemy przedsawić na rysunku:

sąsiedztwo punktu

Widzimy, że istnieje sąsiedztwo punktu 2 ( jest to S(2,ε/5 )) takie, że dla każdego x z tego sąsiedztwa i dla dowolnego dodatniego ε spełniony jest warunek |f(x)-g|<ε, co należało dowieść.

© Media Nauka, 2010-05-05


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy