Zadanie - granica funkcji na podstawie definicji Cauchy'ego
Treść zadania:
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3\).
Rozwiązanie zadania
Wykażemy, że dla każdego dodatniego \(\varepsilon\) istnieje takie sąsiedztwo \(S\) punktu \(x_0=2\), że dla każdego \(x\) z tego sąsiedztwa spełniona jest następująca nierówność \(|f(x)-g|<\varepsilon\).
Z treści zadania wynika że granicą naszej funkcji jest \(g=3\), zatem:
\(|f(x)-g|<\varepsilon\)
\(|5x-7-3)|<\varepsilon\)
\(|5x-10|<\varepsilon\)
\(5|x-2|<\varepsilon\)
\(|x-2|<\frac{\varepsilon}{5}\)
Przyjrzyjmy się ostatniemu wyrażeniu. Skorzystamy tu z własności wartości bezwzględnej:
Mamy więc:
\(|x-2|<\frac{\varepsilon}{5}\)
\(-\frac{\varepsilon}{5} < x-2 < \frac{\varepsilon}{5}\)
\(2-\frac{\varepsilon}{5} < x < 2+\frac{\varepsilon}{5}\)
Co możemy przedstawić na rysunku:
Widzimy, że istnieje sąsiedztwo punktu \(2\) (jest to \(S(2,\frac{\varepsilon}{5})\)) takie, że dla każdego \(x\) z tego sąsiedztwa i dla dowolnego dodatniego \(\varepsilon\) spełniony jest warunek \(|f(x)-g|<\varepsilon\), co należało dowieść.
© medianauka.pl, 2010-05-05, ZAD-850
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}}\).
Zadanie nr 2.
Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}\).
Zadanie nr 3.
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6\).
Zadanie nr 4.
Wykazać, że funkcja \(f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x}\) nie ma granicy w punkcie 0.
Zadanie nr 5.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}\).
Zadanie nr 6.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}\).
Zadanie nr 7.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}\).
Zadanie nr 8.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}\).