Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 444 - granica niewłaściwa funkcji


Obliczyć \lim_{x\to 0}{\frac{-2}{x^2}}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Niech:
x_n\neq 0, \lim_{n\to\infty}{x_n}=0

Obliczamy granicę:

\lim_{x\to 0}{\frac{-2}{x^2}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{-2}{x_n^2}}=-\infty

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Obliczymy wartość granicy funkcji, korzystając z definicji. Bierzemy pod uwagę ciąg argumentów rozpatrywanej funkcji f(x) o wyrazach należących do sąsiedztwa S punktu x0=0, czyli o wyrazach różnych od zera. Niech ten ciąg jest zbieżny do zera.

x_n\neq 0, \\ \lim_{n\to\infty}{x_n}=0

Przykładem takiego ciągu jest choćby xn=1/n, ale to może być dowolny ciąg spełniający powyższe warunki.

Obliczamy granicę funkcji, która będzie równa granicy ciągu wartości funkcji (f(xn))

\lim_{x\to 0}{\frac{-2}{x^2}}=\lim_{n\to\infty}{(f(x_n)}=\lim_{n\to \infty}{\frac{-2}{x_n^2}}=-2\lim_{n\to \infty}{\frac{1}{x_n^2}}=-\infty

Skąd wziął się wynik minus nieskończoność? Skorzystaliśmy tutaj z następującego twierdzenia. Ponieważ każdy wyraz ciągu jest podniesiony do drugiej potęgi, wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ciąg jest zbieżny do zera. Zatrzymajmy się tutaj na chwilę:
Skoro zgodnie z założeniem \lim_{n\to\infty}{x_n}=0, \ to \ \lim_{n\to\infty}{x_n^2}=\lim_{n\to\infty}{(x_n \cdot x_n)}=0
Wszystkie warunki są spełnione, więc możemy skorzystać z tego twierdzenia, uwzględniamy jeszcze znak minus i otrzymujemy wynik: minus nieskończoność

ksiązki Odpowiedź

\lim_{x\to 0}{\frac{-2}{x^2}}=-\infty

© Media Nauka, 2010-05-11


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy