Zadanie - granica funkcji w nieskończoności

Treść zadania:

Rozwiązanie części a)

Obliczamy granicę funkcji w punkcie niewłaściwym (minus nieskończoności). Mamy do czynienia z funkcją wymierną, więc w liczniku i mianowniku ułamka wyciągamy przed nawias niewiadomą w najwyższej potędze, występującej w mianowniku.

\(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{\frac{2x^3-x^2+3x-1}{2-x^3}}=\lim_{x\to -\infty}{\frac{x^3(2-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x^3})}{x^3(\frac{2}{x^3}-1)}}=\)

\(=\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{\frac{2-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x^3}}{\frac{2}{x^3}-1}}=\)

Znana jest granica: \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}{\frac{a}{x^n}}=0, \ a\in \mathbb{R}, \ n\in \mathbb{N}\), zatem granica wszystkich funkcji w liczniku i mianowniku w postaci \(\frac{a}{x^n}\) jest liczba zero. Mamy więc:

\(=\frac{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{2}-\lim_{x\to -\infty}{\frac{1}{x}}+\lim_{x\to -\infty}{\frac{3}{x^2}}-\lim_{x\to -\infty}{\frac{1}{x^3}}}{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{\frac{2}{x^3}}-\lim_{x\to -\infty}{1}}=\frac{2-0+0-0}{0-1}=-2\)

Odpowiedź

Rozwiązanie części b)

To zadanie rozwiązujemy analogicznie do poprzedniego podpunktu.

\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\frac{3x^3+3x-1}{7-x^5}}=\lim_{x\to\infty}{\frac{x^5(\frac{3}{x^2}+\frac{3}{x^4}-\frac{1}{x^5})}{x^5(\frac{7}{x^5}-1)}}=\)

\(=\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\frac{\frac{3}{x^2}+\frac{3}{x^4}-\frac{1}{x^5}}{\frac{7}{x^5}-1}}=\)

Znana jest granica: \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\frac{a}{x^n}}=0, \ a\in \mathbb{R},\ n\in \mathbb{N}\), zatem granica wszystkich funkcji w liczniku i mianowniku w postaci \(\frac{a}{x^n}\) jest liczba zero. Mamy więc:

\(=\frac{\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\frac{3}{x^2}}+\lim_{x\to\infty}{\frac{3}{x^4}}-\lim_{x\to\infty}{\frac{1}{x^5}}}{\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\frac{7}{x^5}}-\lim_{x\to\infty}{1}}=\frac{0+0-0}{0-1}=0\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-05-12, ZAD-856

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Obliczyć \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

Granica \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}\). Wynika stąd, że

A. \(p=-8\)

B. \(p=4\)

C. \(p=2\)

D. \(p=-2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.