Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 448 - granica funkcji w nieskończoności


Obliczyć \lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}=\lim_{x\to -\infty}{[x^8(\frac{1}{x^5}-1+\frac{1}{x^6}-\frac{1}{x^8})]}=-\infty

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Obliczamy granicę funkcji w punkcie niewłaściwym (w minus nieskończoności). Mamy do czynienia z wielomianem, więc wyciągamy przed nawias niewiadomą w najwyższej potędze:

\lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}=\\ =\lim_{x\to -\infty}{[x^8(\frac{1}{x^5}-1+\frac{1}{x^6}-\frac{1}{x^8})]}=\\ =\lim_{x\to -\infty}{x^8}\cdot \lim_{x\to -\infty}{(\frac{1}{x^5}-1+\frac{1}{x^6}-\frac{1}{x^8})}=

Znana jest granica: \lim_{x\to -\infty}{\frac{a}{x^n}}=0, \ a\in R, \ n\in N, zatem granica wszystkich funkcji w liczniku i mianowniku w postaci \frac{a}{x^n} (zaznaczono na żółto) jest liczba zero. Mamy więc:

=(0-1+0-0) \cdot \lim_{x\to -\infty}{x^8}=-\lim_{x\to -\infty}{x^8}=-\infty

Ponieważ niewiadoma jest w parzystej potędze, stąd granicą funkcji f(x)=x8 w minus nieskończoności będzie liczba plus nieskończoność. Możemy to wykazać:

Niech dany będzie pewien ciąg argumentów funkcji określony w jej dziedzinie i \lim_{n\to\infty}{x_n}=-\inftyObliczamy granicę:
\lim_{x\to -\infty}{x^8}=\lim_{n\to +\infty}{x_n^8}=\lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \\ \cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}=\\ =+\infty

ksiązki Odpowiedź

\lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}=-\infty

© Media Nauka, 2010-05-12


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy