Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 449 - granica lewostronna i prawostronna


Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji
a) f(x)=\frac{x+2}{x-1} w punkcie x0=2
b) f(x)=\frac{x-7}{x^2-9} w punkcie x0=-3


ksiązki a) Rozwiązanie zadania

Funkcja f(x) jest określona w punkcie x0=2, granicę prawostronną i lewostronną obliczamy więc w następujący sposób:

Obliczamy granicę prawostronną funkcji w punkcie x0=2.

\lim_{x\to 2 +}{\frac{x+2}{x-1}}=\frac{2+2}{2-1}=4

Obliczamy granicę lewostronną funkcji w punkcie x0=2.

\lim_{x\to 2 -}{\frac{x+2}{x-1}}=\frac{2+2}{2-1}=4

Obie granice są sobie równe, więc funkcja posiada w tym punkcie granicę równą 4.

ksiązki b) Rozwiązanie zadania

Funkcja f(x) nie jest określona w punkcie x0=-3, granicę prawostronną i lewostronną obliczamy w następujący sposób:

Obliczamy granicę prawostronną funkcji w punkcie x0=-3.

\lim_{x\to -3 +}{\frac{x-7}{x^2-9}}=[\frac{-10}{0^-}]=+\infty

Zapis 0- w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x2-9) jest zbieżny do zera i przyjmuje ujemne wartości. Gdy będziemy podstawiać wyrazy ciągu zbieżnego do -3 o wyrazach większych od -3 otrzymamy wyrazy ciągu wartości ujemne.

Obliczamy granicę lewostronną funkcji w punkcie x0=-3.

\lim_{x\to -3 -}{\frac{x-7}{x^2-9}}=[\frac{-10}{0^+}]=-\infty

Zapis 0+ w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x2-9) jest zbieżne do zera i przyjmuje dodatnie wartości. (Gdy będziemy podstawiać wyrazy ciągu zbieżnego do -3 o wyrazach mniejszych od -3 otrzymamy wyrazy ciągu wartości dodatnie, zbieżne do zera.)

Obie granice nie są sobie równe, więc funkcja nie posiada w tym punkcie granicy.

© Media Nauka, 2010-05-13


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy