Zadanie - granica lewostronna i prawostronna

Treść zadania:

Rozwiązanie części a)

Funkcja \(f(x)\) jest określona w punkcie \(x_0=2\), granicę prawostronną i lewostronną obliczamy więc w następujący sposób:

Obliczamy granicę prawostronną funkcji w punkcie \(x_0=2\).

\(\displaystyle\lim_{x\to 2 +}{\frac{x+2}{x-1}}=\frac{2+2}{2-1}=4\)

Obliczamy granicę lewostronną funkcji w punkcie \(x_0=2\).

\(\displaystyle\lim_{x\to 2 -}{\frac{x+2}{x-1}}=\frac{2+2}{2-1}=4\)

Obie granice są sobie równe, więc funkcja posiada w tym punkcie granicę równą 4.

Rozwiązanie części b)

Funkcja \(f(x)\) nie jest określona w punkci \(x_0=-3\), granicę prawostronną i lewostronną obliczamy w następujący sposób:

Obliczamy granicę prawostronną funkcji w punkcie \(x_0=-3\).

\(\displaystyle\lim_{x\to -3 +}{\frac{x-7}{x^2-9}}=[\frac{-10}{0^-}]=+\infty\)

Zapis \(0^-\)w nawiasie kwadratowym oznacza, że \((x^2-9)\) jest zbieżny do zera i przyjmuje ujemne wartości. Gdy będziemy podstawiać wyrazy ciągu zbieżnego do -3 o wyrazach większych od -3, otrzymamy wyrazy ciągu wartości ujemne.

Obliczamy granicę lewostronną funkcji w punkcie \(x_0=-3\).

\(\displaystyle\lim_{x\to -3 -}{\frac{x-7}{x^2-9}}=[\frac{-10}{0^+}]=-\infty\)

Zapis 0⁺ w nawiasie kwadratowym oznacza, że \((x^2-9)\) jest zbieżne do zera i przyjmuje dodatnie wartości. (Gdy będziemy podstawiać wyrazy ciągu zbieżnego do -3 o wyrazach mniejszych od -3, otrzymamy wyrazy ciągu wartości dodatnie, zbieżne do zera),

Obie granice nie są sobie równe, więc funkcja nie posiada w tym punkcie granicy.

© medianauka.pl, 2010-05-13, ZAD-861

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne