Zadanie - granica funkcji
Treść zadania:
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}\).
Rozwiązanie zadania
Ponieważ znamy wartość granicy funkcji \(\frac{\sin{x}}{x}\) w punkcie \(x_0=0\) (jest to liczba \(1\)), to musimy ułamek doprowadzić do takiej postaci:
\(\frac{\sin{3x}}{x}=\frac{\sin{3x}}{x}\cdot \frac{3}{3}=3\cdot \frac{\sin{3x}}{3x}\)
Możemy więc zapisać:
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}=\lim_{x\to 0}{3\cdot \frac{\sin{3x}}{3x}}=\)
Zastosujemy następujące podstawienie:
\(3x=u\)
\(u\to 0\), gdy \(x\to 0\)
Mamy więc:
\(=\displaystyle\lim_{u\to 0}{3\cdot \frac{\sin{u}}{u}}=\)
Ponieważ granica iloczynu funkcji jest równa iloczynowi granic funkcji oraz:
i
Otrzymujemy:
\(=\displaystyle\lim_{u\to 0}{3\cdot \frac{\sin{u}}{u}}=\lim_{u\to 0}{3} \cdot \lim_{u\to 0}{\frac{\sin{u}}{u}}=3\cdot 1=3\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-08-29, ZAD-872
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}}\).
Zadanie nr 2.
Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}\).
Zadanie nr 3.
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6\).
Zadanie nr 4.
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3\).
Zadanie nr 5.
Wykazać, że funkcja \(f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x}\) nie ma granicy w punkcie 0.
Zadanie nr 6.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}\).
Zadanie nr 7.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}\).
Zadanie nr 8.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}\).