Zadanie - ciągłość funkcji, zadanie z parametrem

Treść zadania:

Dla jakich wartości parametru \(a\) funkcja \(f(x)=\begin{cases} 2x^2-a, \ dla \ x \geq 1 \\ x-1, \ dla \ x < 1 \end{cases}\) jest ciągła w punkcie \(x_0=1\)?


ksiązki Rozwiązanie zadania

Dana jest funkcja:

\(f(x)=\begin{cases} 2x^2-a, \ dla \ x \geq 1 \\ x-1, \ dla \ x < 1 \end{cases}\)

Aby sprawdzić ciągłość funkcji musimy w pierwszym kroku zbadać granice lewostronną i prawostronną.

1) Obliczamy granicę funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\):

\(\lim_{x\to 1^+}{f(x)}=\lim_{x\to 1^+}{(2x^2-a)}=2\cdot 1^2-a=2-a\)

Ponieważ rozpatrujemy granicę prawostronną, interesują nas wartości większe od jedności. Zgodnie z określeniem naszej funkcji przyjmuje ona wartości \(2x^2-a\) dla argumentów większych od jeden.

Obliczamy granicę lewostronną

\(\lim_{x\to 1^-}{f(x)}=\lim_{x\to 1^-}{(x-1)}=1-1=0\)

Ponieważ rozpatrujemy granicę lewostronną, interesują nas wartości mniejsze od jeden. Zgodnie z określeniem naszej funkcji przyjmuje ona wartości \(x-1\) dla argumentów mniejszych od jedności.

Ponieważ granica lewostronna i prawostronna muszą mieć taką samą wartość, to:

\(2-a=0\)

\(a=2\)

Krokiem kolejnym w badaniu ciągłości funkcji jest obliczenie wartości funkcji w punkcie.

2) Obliczamy wartość funkcji w punkcie \(x_0=1\):

\(f(x_0)=f(1)=2\cdot 1^2-a=2-2=0\)

3) Sprawdzamy, czy granica funkcji w punkcie jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

Ponieważ \(\lim_{x\to 1}{f(x)}=f(1)=0\), to funkcja ta jest ciągła w tym punkcie dla \(a=2\).

ksiązki Odpowiedź

Funkcja \(f(x)\) jest ciągła w \(x_0=1\) dla \(a=2\).

© medianauka.pl, 2010-09-01, ZAD-879

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Zbadać, czy funkcja \(f(x)=\begin{cases} -2x, \ dla \ x \leq 0 \\ x^2, \ dla \ x > 0 \end{cases}\) jest ciągła w punkcie \(x_0=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Sprawdzić, czy funkcja \(f(x)=\begin{cases} \frac{x^2+x-6}{x-2}, \ dla \ x\in(-\infty;2) \\5, \ dla\ x=2 \\ 3x-1, \ dla \ x\in (2;\infty) \end{cases}\) jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Sprawdzić, czy funkcja \(f(x)=|x+1|-x\) jest ciągła w punkcie \(x_0=-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.