Zadanie - pochodna ilorazu funkcji
Treść zadania:
Obliczyć pochodną funkcji:
a) \(f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}\)
b) \(f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}\)
c) \(f(x)=\frac{5x^4-3x^2}{2x^3-1}\)
We wszystkich częściach skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej ilorazu funkcji:
Rozwiązanie części a)
Dana jest funkcja \(f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}\).
Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji. Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem.
\(f'(x)=\frac{(\sqrt{x})'\cdot x-\sqrt{x}\cdot (x)'}{x^2}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot x-\sqrt{x}\cdot 1}{x^2}=\frac{\frac{x}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}}{x^2}=\)
W liczniku jest ułamek, w którym mamy niewymierność w mianowniku. Pozbędziemy się jej mnożąc licznik i mianownik tego ułamka przez pierwiastek z \(x\) (możemy to zrobić, bo \(x\) nie może być zerem ze względu na dziedzinę funkcji):
\(=\frac{\frac{x\cdot \sqrt{x}}{2\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}}-\sqrt{x}}{x^2}=\frac{\frac{\cancel{x}\sqrt{x}}{2\cancel{x}}-\sqrt{x}}{x^2}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{x}-\sqrt{x}}{x^2}=\frac{\sqrt{x}(\frac{1}{2}-1)}{x^2}=\frac{-\frac{1}{2}\sqrt{x}}{x^2}=-\frac{\sqrt{x}}{2x^2}\)
\(f'(x)=-\frac{\sqrt{x}}{2x^2}\)
Rozwiązanie części b)
Dana jest funkcja \(f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}\).
Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji. Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem.
\(f'(x)=\frac{(5x^3-x+1)'(x^2-1)-(5x^3-x+1)(x^2-1)'}{(x^2-1)^2}=\frac{(15x^2-1)(x^2-1)-(5x^3-x+1)\cdot 2x}{(x^2-1)^2}=\)
Oprócz wzoru na pochodną sumy i różnicy funkcji (która jest równa odpowiednio sumie i różnicy pochodnej funkcji) w obu zaznaczonych fragmentach zastosowano wzór:
Czyli kolejno:
\((5x^3-x+1)'=(5x^3)'-(x)'+(1)'=5\cdot 3x^{3-1}-1\cdot x^{1-1}+0=15x^2-1\)
oraz
\((x^2-1)'=(x^2)'-(1)'=2x^{2-1}-0=2x\)
Wykonujemy kolejno działania:
\(=\frac{15x^4-15x^2-x^2+1-10x^4+2x^2-2x}{(x^2-1)^2}=\frac{5x^4-14x^2-2x+1}{(x^2-1)^2}\)
\(f'(x)=\frac{5x^4-14x^2-2x+1}{(x^2-1)^2}\)
Rozwiązanie części c)
Mamy:
\(f'(x)=\frac{(5x^4-3x^2)'(2x^3-1)-(5x^4-3x^2)(2x^3-1)'}{(2x^3-1)^2}=\)
Obliczamy pochodną:
\(f(x)=5x^4-3x^2\)
\(f'(x)=5\cdot 4\cdot x^{4-1}-3\cdot 2\cdot x^{2-1}=20x^3-6x\)
Obliczamy też:
\(f(x)=2x^3-1\)
\(f'(x)=2\cdot 3x^(3-1)-0=6x^2\)
Mamy więc:
\(=\frac{(20x^3-6x)(2x^3-1)-(5x^4-3x^2)\cdot 6x^2}{(2x^3-1)^2}=\)
\(\frac{40x^6-20x^3-12x^4+6x-30x^6+18x^4}{(2x^3-1)^2}=\)
\(=\frac{10x^6+6x^4-20x^3+6x}{(2x^3-1)^2}\)
\(f'(x)=\frac{10x^6+6x^4-20x^3+6x}{(2x^3-1)^2}\)
© medianauka.pl, 2010-09-09, ZAD-900
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=-x^2+x-1\) w punkcie \(x_0=-1\).
Zadanie nr 3.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{1}{x+1}\) w punkcie \(x_0=0\).
Zadanie nr 5.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\begin{cases} x^2 \ dla \ x\geq 0 \\ -2x^2 \ dla \ x<0 \end{cases}\) w punkcie \(x_0=0\).
Zadanie nr 7.
Obliczyć pochodną funkcji
\(a) f(x)=-\frac{1}{2}\)
\(b) g(x)=x^{17}\)
\(c) h(x)=x^{\frac{1}{3}}\)
\( d) i(x)=x\)
\( e) j(x)=\sqrt{2}\)
Zadanie nr 8.
Obliczyć pochodną funkcji:
\(a) f(x)=-x+5\)
\(b) g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}\)
\( c) h(x)=\sin{x}+2\cos{x}\)
\( d) i(x)=-\frac{1}{x}-tgx\)
\( e) j(x)=3x^3-2x^2+x-1\)
Zadanie nr 9.
Obliczyć pochodną funkcji:
\(a) f(x)=x\sin{x}\)
\(b) g(x)=\sin^2{x}\)
\(c) h(x)=x\sqrt{x}\)
Zadanie nr 10.
Obliczyć pochodną funkcji:
a) \(f(x)=\frac{\sin{x}}{x}\)
b) \(f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}\)
c) \(f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\)
Zadanie nr 11.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Funkcja \(f(x)=\frac{3x-1}{x^2+4}\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Pochodna tej funkcji jest określona wzorem:
A. \(f'(x)=\frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2}\)
B. \(f'(x)=\frac{-9x^2+2x-12}{(x^2+4)^2}\)
C. \(f'(x)=\frac{3x^2-2x-12}{(x^2+4)^2}\)
D. \(f'(x)=\frac{9x^2-2x+12}{(x^2+4)^2}\)
Zadanie nr 13 — maturalne.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 2\). Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu \(x=\frac{1}{2}\) jest równa
A. \(\frac{3}{4}\)
B. \(\frac{9}{4}\)
C. 3
D. \(\frac{54}{8}\)