Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 475 - pochodna ilorazu funkcji


Obliczyć pochodną funkcji
f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

f'(x)=\frac{(\sqrt[5]{x})'\cdot 10x^8-\sqrt[5]{x}\cdot (10x^8)'}{(10x^8)^2}=\frac{(x^{\frac{1}{5}})'\cdot 10x^8-\sqrt[5]{x}\cdot 80x^7}{100x^{16}}=\frac{\frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}\cdot 10x^8-\sqrt[5]{x}\cdot 80x^7}{100x^{16}}=\\ =\frac{2x^8\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}- 80x^7\sqrt[5]{x}}{100x^{16}}=\frac{2x^7(\frac{x}{\sqrt[5]{x^4}}- 40\sqrt[5]{x})}{100x^{16}}=\frac{\frac{x}{\sqrt[5]{x^4}}- 40\sqrt[5]{x}}{50x^9}=\frac{\frac{x}{\sqrt[5]{x^4}}- 40\sqrt[5]{x}\cdot \frac{\sqrt[5]{x^4}}{\sqrt[5]{x^4}}}{50x^9}=\\ =\frac{\frac{x-40x}{\sqrt[5]{x^4}}}{50x^9}=\frac{-39x}{50x^9\sqrt[5]{x^4}}=\frac{-39}{50x^8\sqrt[5]{x^4}}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej ilorazu funkcji:

[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

Dana jest funkcja f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}

Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji. Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem.

f'(x)=\frac{(\sqrt[5]{x})'\cdot 10x^8-\sqrt[5]{x}\cdot (10x^8)'}{(10x^8)^2}=\frac{(x^{\frac{1}{5}})'\cdot 10x^8-\sqrt[5]{x}\cdot 80x^7}{100x^{16}}=\frac{\frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}\cdot 10x^8-\sqrt[5]{x}\cdot 80x^7}{100x^{16}}=" style="Vertical-Align:0px; border:none; position:absolute; left:10px; z-index:1; tło tło tło tło tło

W obu zaznaczonych fragmentach zastosowano wzór:

(x^n)'=nx^{n-1}

czyli kolejno dla fragmentu zaznaczonego na żółto:

(\sqrt[5]{x})'=(x^{\frac{1}{5}})'=\frac{1}{5}x^{\frac{1}{5}-1}=\frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}=\frac{1}{5}\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}=\frac{1}{5}\frac{1}{\sqrt[5]{x}}

oraz dla fragmentu zaznaczonego kolorem fioletowym

(10x^8)'=10\cdot 8x^{8-1}=80x^7

Po uwzględnieniu powyższych rachunków mamy:

=\frac{\frac{1}{\cancel{5}}\frac{1}{\sqrt[5]{x}}\cdot \cancel{10}^{2}x^8-\sqrt[5]{x}\cdot 80x^7}{100x^{16}}=\frac{2x^8\frac{1}{\sqrt[5]{x}}- 80x^7\sqrt[5]{x}}{100x^{16}}=

W liczniku wyciągniemy przed nawias czynnik 2x7:

=\frac{\cancel{2x^7}(\frac{x}{\sqrt[5]{x}}- 40\sqrt[5]{x})}{\cancel{100}_{50}x^{\cancel{16}^{9}}}=\frac{\frac{x}{\sqrt[5]{x^4}}-40\sqrt[5]{x}}{50x^9}=

Wykonujemy teraz odejmowanie w liczniku ułamka, sprowadzając liczby do wspólnego mianownika:

=\frac{\frac{x}{\sqrt[5]{x^4}}-40\sqrt[5]{x}\cdot \frac{\sqrt[5]{x^4}}{\sqrt[5]{x^4}}}{50x^9}=\frac{\frac{x-40x}{\sqrt[5]{x^4}}}{50x^9}=\frac{-39x}{50x^9\sqrt[5]{x^4}}=\frac{-39}{50x^8\sqrt[5]{x^4}} tło tło

Wyjaśnienia może jeszcze wymagać fragment zaznaczony kolorem żółtym:

\sqrt[5]{x}\cdot \sqrt[5]{x^4}=x^{\frac{1}{5}}\cdot x^{\frac{4}{5}}=x^{\frac{1}{5}+\frac{4}{5}}=x^1=x

Skorzystaliśmy tutaj z własności działań na potęgach.

Alternatywne rozwiązanie.

Możemy też inaczej podejść do zadania. Najpierw wykonamy działania na potęgach, a potem obliczymy pochodną:

f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}=\frac{1}{10}\cdot x^{\frac{1}{5}}:x^8=\frac{1}{10}x^{\frac{1}{5}-8}=\frac{1}{10}x^{-\frac{39}{5}}\\ f'(x)=(\frac{1}{10}x^{-\frac{39}{5}})'=\frac{1}{10}\cdot(-\frac{39}{5}x^{\frac{-44}{5}})=\frac{-39}{50x^{\frac{44}{5}}}=\frac{-39}{50x^{8+\frac{4}{5}}}=\frac{-39}{50x^8\sqrt[5]{x^4}}

ksiązki Odpowiedź

f'(x)=\frac{-39}{50x^8\sqrt[5]{x^4}}

© medianauka.pl, 2010-09-12, ZAD-901


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.