Nauka » Matematyka » Pochodna funkcji złożonej

Zadanie - pochodna funkcji złożonej

Treść zadania:

Obliczyć pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\sin{2x}\)

b) \(f(x)=\sqrt{x^3-2x+1}\)

c) \(f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}\)

Skorzystamy tu ze wzoru na obliczanie pochodnej funkcji złożonej:

\(h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)\)

Rozwiązanie części a)

Dana jest funkcja \(f(x)=\sin{2x}\).

Mamy tu do czynienia z funkcją zewnętrzną (sinus) i wewnętrzną (\(2x\)). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

\(f'(x)=\cos{2x}\cdot (2x)'=\cos{2x}\cdot 2=2\cos{2x}\)

Alternatywny sposób rozwiązania.

Jeżeli masz kłopot w obliczaniu pochodnej funkcji złożonej w pamięci, możesz stosować podstawienie, jednak przy obliczaniu pochodnych bardziej skomplikowanych funkcji ta metoda może okazać się kłopotliwa.

\(f(x)=\sin{2x}\)

\(u=2x\)

\(u'=(2x)'=2\)

\(f(u)=\sin{u}\)

\(f'(u)=(\sin{u})'=\cos{u}\)

\(f'(x)=\cos{2x}\cdot 2=2\cos{2x}\)

\(f'(x)=2\cos{2x}\)

Rozwiązanie części b)

Dana jest funkcja \(f(x)=\sqrt{x^3-2x+1}\).

Mamy tu do czynienia z funkcją zewnętrzną (pierwiastek) i wewnętrzną (suma jednomianów). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^3-2x+1}}\cdot (x^3-2x+1)'=\frac{1}{2\sqrt{x^3-2x+1}}\cdot (3x^2-2)=\frac{3x^2-2}{2\sqrt{x^3-2x+1}}\)

Alternatywny sposób rozwiązania.

\(f(x)=\sqrt{x^3-2x+1}\)

\(u=x^3-2x+1\)

\(u'=(x^3-2x+1)'=3x^{3-1}-2x^{1-1}+0=3x^2-2\)

\( f(u)=\sqrt{u}\)

\(f'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\)

\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^3-2x+1}}\cdot (3x^2-2)\)

\(f'(x)=\frac{3x^2-2}{2\sqrt{x^3-2x+1}}\)

Rozwiązanie części c)

Dana jest funkcja \(f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}\).

Ponieważ nie znamy podstawowego wzoru na obliczenie pochodnej pierwiastka trzeciego stopnia, skorzystamy z definicji potęgi o wykładniku wymiernym.

\(f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}=(1+x^2)^{\frac{1}{3}}\)

Mamy tu do czynienia z funkcją zewnętrzną (potęgowanie) i wewnętrzną (suma jednomianów). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

\(f'(x)=\frac{1}{3}(1+x^2)^{\frac{1}{3}-1}\cdot (1+x^2)'=\frac{1}{3}(1+x^2)^{-\frac{2}{3}}\cdot 2x=\frac{2x}{3(1+x^2)^{\frac{2}{3}}}=\frac{2x}{3\sqrt[3]{(1+x^2)^2}\)

Alternatywny sposób rozwiązania.

\(f(x)=(1+x^2)^{\frac{1}{3}}\)

\(u=1+x^2\)

\(u'=(1+x^2)'=2x\)

\(f(u)=u^{\frac{1}{3}}\)

\(f'(u)=\frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{u^2}}\)

\(f'(x)=\frac{2x}{3\sqrt[3]{(1+x^2)^2}}\)