Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 482 - pochodna funkcji złożonej


Obliczyć pochodną funkcji
f(x)=\sin^2{x}\cdot \cos^2{x}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

f'(x)=(\sin^2{x})'\cdot \cos^2{x}+\sin^2{x}\cdot (\cos^2{x})'=\\=2\sin{x}\cos{x}\cdot \cos^2{x}+\sin^2{x}\cdot 2\cos{x}\cdot (-\sin{x})=2\sin{x}\cos^3{x}-2\cos{x}\sin^3{x}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy tu do czynienia z iloczynem dwóch funkcji: sin2x oraz cos2x. Stosujemy więc w pierwszej kolejności wzór na pochodną iloczynu funkcji:

[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

Mamy więc:

f'(x)=(\sin^2{x})'\cdot \cos^2{x}+\sin^2{x}\cdot (\cos^2{x})'=

Mamy tutaj dwie pochodne funkcji złożonej (w obu nawiasach). Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej funkcji złożonej:

h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)

W pierwszym nawiasie mamy tu do czynienia z funkcją zewnętrzną (druga potęga) i wewnętrzną (sinus). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

f(x)=\sin^2{x}=(\sin{x})^2\\ f'(x)=2\sin{x}\cdot \cos{x}

W drugim nawiasie mamy tu do czynienia z funkcją zewnętrzną (druga potęga) i wewnętrzną (cosinus). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

f(x)=\cos^2{x}=(\cos{x})^2\\ f'(x)=2\cos{x}\cdot (-\sin{x}}

Mamy więc:

=2\sin{x}\cos{x}\cdot \cos^2{x}+\sin^2{x}\cdot 2\cos{x}\cdot (-\sin{x})=2\sin{x}\cos^3{x}-2\cos{x}\sin^3{x}

Możemy jeszcze się pokusić o przekształcenie tego wzoru w następujący sposób, korzystając z tożsamości trygonometrycznych:

\sin{2x}=2\sin{x}\cdot \cos{x}\\ \cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}

Mamy więc:

2\sin{x}\cos^3{x}-2\cos{x}\sin^3{x}=2\sin{x}\cos{x}(\cos^2{x}-\sin^2{x})=\sin{2x}\cos{2x}

ksiązki Odpowiedź

f'(x)=2\sin{x}\cos^3{x}-2\cos{x}\sin^3{x}

© Media Nauka, 2010-09-17


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy