Zadanie - pochodna funkcji złożonej

Treść zadania:

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{\sin{2x}}{1+cos^2{x}}\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji. Stosujemy więc w pierwszej kolejności wzór na pochodną ilorazu funkcji:

\((\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\)

Mamy więc:

\(f'(x)=\frac{(\sin{2x})'(1+\cos^2{x})-\sin{2x}(1+\cos^2{x})'}{(1+\cos^2{x})^2}=\)

Mamy tutaj dwie pochodne funkcji złożonej. Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej funkcji złożonej:

\(h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)\)

W pierwszym przypadku (kolor żółty) mamy do czynienia z funkcją zewnętrzną (sinus) i wewnętrzną (\(2x\)). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

\(f(x)=\sin{2x}\)

\(f'(x)=\cos{2x}\cdot (2x)'=2\cos{2x}\)

W drugim przypadku mamy do czynienia z sumą funkcji oraz funkcją zewnętrzną (druga potęga) i wewnętrzną (cosinus). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

\(f(x)=1+\cos^2{x}\)

f'(x)=(1)'+(\cos^2{x})'=0+2\cos{x}\cdot (\cos{x})'=2\cos{x}\cdot (-\sin{x}}=-2\sin{x}\cos{x}=-\sin{2x}\)

Mamy więc:

\(f'(x)=\frac{2\cos{2x}\cdot (1+\cos^2{x})-\sin{2x}\cdot (-\sin{2x})}{(1+\cos^2{x})^2}=\)

Dalej już wykonujemy zwykłe działania w liczniku:

\(=\frac{2\cos{2x}+2\cos{2x}\cos^2{x}+\sin^2{2x}}{(1+\cos^2{x})^2}\)

ksiązki Odpowiedź

\(f'(x)=\frac{2\cos{2x}+2\cos{2x}\cos^2{x}+\sin^2{2x}}{(1+\cos^2{x})^2}\)

© medianauka.pl, 2010-09-17, ZAD-910

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Obliczyć pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\sin{2x}\)

b) \(f(x)=\sqrt{x^3-2x+1}\)

c) \(f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Obliczyć pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\sin{(\cos{x})}\)

b) \(f(x)=\sqrt{x^2+\sqrt{x}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\sin^2{x}\cdot \cos^2{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.