Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 483 - pochodna funkcji złożonej


Obliczyć pochodną funkcji
f(x)=\frac{\sin{2x}}{1+cos^2{x}}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

f'(x)=\frac{(\sin{2x})'(1+\cos^2{x})-\sin{2x}(1+\cos^2{x})'}{(1+\cos^2{x})^2}=\\ =\frac{\cos{2x}\cdot2(1+\cos^2{x})-\sin{2x}\cdot 2\cos{x}\cdot(-\sin{x})}{(1+\cos^2{x})^2}=\\ =\frac{2\cos{2x}(1+\cos^2{x})+2\sin{x}\cdot \sin{2x}\cdot \cos{x}}{(1+\cos^2{x})^2}=\\ =\frac{2\cos{2x}+2\cos{2x}\cos^2{x}+2\sin{x}\cos{x}\cdot \sin{2x}}{(1+\cos^2{x})^2}=\\ =\frac{2\cos{2x}+2\cos{2x}\cos^2{x}+\sin^2{2x}}{(1+\cos^2{x})^2}

ksiązki Rozwiązanie zadania szczegółowe

Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji. Stosujemy więc w pierwszej kolejności wzór na pochodną ilorazu funkcji:

(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

Mamy więc:

f'(x)=\frac{(\sin{2x})'(1+\cos^2{x})-\sin{2x}(1+\cos^2{x})'}{(1+\cos^2{x})^2}= tło tło

Mamy tutaj dwie pochodne funkcji złożonej. Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej funkcji złożonej:

h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)

W pierwszym przypadku (kolor żółty) mamy do czynienia z funkcją zewnętrzną (sinus) i wewnętrzną (2x). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

f(x)=\sin{2x}\\ f'(x)=\cos{2x}\cdot (2x)'=2\cos{2x}

W drugim przypadku (kolor fioletowy) mamy do czynienia z sumą funkcji oraz funkcją zewnętrzną (druga potęga) i wewnętrzną (cosinus). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

f(x)=1+\cos^2{x}\\ f'(x)=(1)'+(\cos^2{x})'=0+2\cos{x}\cdot (\cos{x})'=2\cos{x}\cdot (-\sin{x}}=-2\sin{x}\cos{x}=-\sin{2x}

Mamy więc:

f'(x)=\frac{2\cos{2x}\cdot (1+\cos^2{x})-\sin{2x}\cdot (-\sin{2x})}{(1+\cos^2{x})^2}=tłotło

Dalej już wykonujemy zwykłe działania w liczniku:

=\frac{2\cos{2x}+2\cos{2x}\cos^2{x}+\sin^2{2x}}{(1+\cos^2{x})^2}

ksiązki Odpowiedź

f'(x)=\frac{2\cos{2x}+2\cos{2x}\cos^2{x}+\sin^2{2x}}{(1+\cos^2{x})^2}

© Media Nauka, 2010-09-17


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy