Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 493 - równanie stycznej do krzywej


Znaleźć równanie stycznej do okręgu (x-1)^2+y^2=2 w punkcie (1,-\sqrt{2}).


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

x_0=1\\ y_0=-\sqrt{2}\\ y=2-(x-1)^2\\ y=\pm \sqrt{2-(x-1)^2}\\ y'=\frac{\pm 1}{2\sqrt{2-(x-1)^2}}\cdot [-2(x-1)]=\frac{\pm(x-1)}{\sqrt{2-(x-1)^2}}\\ f'(x_0)=f'(1)=\frac{\pm(1-1)}{\sqrt{2-(1-1)^2}}=0\\ y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\\ y-(-\sqrt{2})=0\cdot(x-1)\\ y=-\sqrt{2}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja (x-1)^2+y^2=2

Aby móc w sposób analityczny wyznaczyć równanie stycznej, musimy wyznaczyć z równania okręgu y:

y^2=2-(x-1)^2\\ y=\pm \sqrt{2-(x-1)^2}

Równanie stycznej do krzywej f(x) w punkcie A(x0,y0) wyraża się wzorem:

y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)

Odczytujemy współrzędne punktu, przez który przechodzi styczna:

x_0=1, \ y_0=-\sqrt{2}

i obliczamy pochodną funkcji w punkcie. Mamy tutaj do czynienia z pochodną funkcji złożonej. Funkcją "zewnętrzną" jest tutaj pierwiastek, wewnętrzną funkcja znajdująca się pod pierwiastkiem, która również jest złożona.

f(x)=\pm \sqrt{2-(x-1)^2}\\ f'(x)=\pm \frac{1}{2\sqrt{2-(x-1)^2}}\cdot [2-(x-1)^2]'=\\ =\pm \frac{1}{2\sqrt{2-(x-1)^2}}\cdot [0-2(x-1)^1] \cdot (x-1)'=\\ =\pm \frac{1}{2\sqrt{2-(x-1)^2}}\cdot [-2(x-1)]\cdot 1=\\ =\pm \frac{-\cancel{2}(x-1)}{\cancel{2}\sqrt{2-(x-1)^2}}=\pm \frac{x-1}{\sqrt{2-(x-1)^2}}

Obliczamy wartość pochodnej w punkcie x0:

f'(x_0)=f'(1)=\pm \frac{1-1}{\sqrt{2-(1-1)^2}}=0

Podstawiamy dane do wzoru i wyznaczamy równanie stycznej:

y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\\ y-(-\sqrt{2})=0\cdot (x-1)\\ y+\sqrt{2}=0\\ y=-sqrt{2}

Sporządźmy jeszcze rysunek. Na podstawie równania okręgu wiemy, że w przypadku naszej funkcji mamy do czynienia z okręgiem o środku w punkcie (1,0) i promieniu równym pierwiastkowi z dwóch, bo:

(x-x_{sr})^2+(y-y_{sr})=r^2\\ (x-1)^2+(y-1)^2=2=(\sqrt{2})^2\\ x_{sr}=1, \ y_{sr}=0 \\ r=\sqrt{2}

Jak narysować okrąg o takim promieniu? Wystarczy sobie przypomnieć, że przekątna kwadratu o boku długości 1 ma właśnie długość równą pierwiastkowi z dwóch.

Styczna do okręgu

ksiązki Odpowiedź

y=-\sqrt{2}

© Media Nauka, 2010-09-20


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy