Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 494 - monotoniczność funkcji a pochodna


Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f(x)=\frac{x^2}{x-1}.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

f(x)=\frac{x^2}{x-1}\\ f'(x)=\frac{(x^2)'(x-1)-x^2(x-1)'}{(x-1)^2}=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}
tło

Funkcja jest rosnąca, gdy
f'(x)>0\\ \frac{x^2-2x}{(x-1)^2}>0\\ x^2-2x>0\\ x(x-2)>0\\ x \in(-\infty;0)\cup (2;\infty)

Funkcja jest malejąca, gdy
f'(x)<0\\ x^2-2x<0\\ x(x-2)<0\\ x\in(0;2)

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja f(x)=\frac{x^2}{x-1}

Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji musimy znaleźć jej pochodną. Mamy tutaj do czynienia z pochodną ilorazu funkcji, więc stosujemy wzór:

[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

Mamy więc:

f'(x)=\frac{(x^2)'(x-1)-x^2(x-1)'}{(x-1)^2}=\frac{2x(x-1)-x^2\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}

Funkcja jest rosnąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest dodatnia. Mamy więc warunek:

f'(x)>0\\ \frac{x^2-2x}{(x-1)^2}>0

W mianowniku ułamka mamy kwadrat, w związku z czym jest tam liczba dodatnia. Aby cały ułamek był dodatni, licznik musi być większy od zera.

x^2-2x>0\\ x(x-2)>0

Sporządzamy wykres zmienności trójmianu kwadratowego, mamy dwa pierwiastki: 0 i 2, ramiona paraboli są skierowane w górę. Wartości dodatnie zaznaczono kolorem niebieskim.

Rysunek pomocniczy

Odczytujemy rozwiązanie z wykresu:

x \in(-\infty;0)\cup (2;\infty)

W tym przedziale mamy do czynienia z funkcją rosnącą.

Funkcja jest malejąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest ujemna. Mamy więc warunek:

f'(x)<0\\ \frac{x^2-2x}{(x-1)^2}<0

W mianowniku ułamka mamy kwadrat, w związku z czym jest tam liczba dodatnia. Aby cały ułamek był ujemny, licznik musi być mniejszy od zera.

x^2-2x<0\\ x(x-2)<0

Korzystamy z tego samego wykresu, co wcześniej. Wartości ujemne zaznaczono kolorem różowym.

Odczytujemy rozwiązanie z wykresu:

x \in (0;2)

W tym przedziale mamy do czynienia z funkcją malejącą.

ksiązki Odpowiedź

Funkcja f(x) jest rosnąca w przedziale x \in(-\infty;0)\cup (2;\infty) i malejąca w przedziale x \in (0;2)

© Media Nauka, 2010-09-21


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy