Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 495 - monotoniczność a pochodna funkcji


Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f(x)=x^3-6x+5.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

f'(x)=3x^2-6
tło

Funkcja jest rosnąca, gdy
f'(x)>0\\ 3x^2-6x>0/:3\\ x^2-2>0 \\(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})>0\\ x \in(-\infty;-\sqrt{2})\cup (\sqrt{2};\infty)

Funkcja jest malejąca, gdy
f'(x)<0\\ 3x^2-6x<0/:3\\ (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})<0\\ x\in(-\sqrt{2};\sqrt{2})

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja f(x)=x^3-6x+5

Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji obliczamy jej pochodną.

f'(x)=(x^3-6x+5)=3x^2-6+0=3x^2-6

Funkcja jest rosnąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest dodatnia.

Zatem otrzymaliśmy warunek:

f'(x)>0\\ 3x^2-6>0/:3\\ x^2-2>0

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

i otrzymujemy

(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})>0

Sporządzamy wykres zmienności trójmianu kwadratowego. Mamy tutaj do czynienia z dwoma pierwiastkami, ramiona paraboli są skierowane w górę. Wartości dodatnie zaznaczono kolorem niebieskim.

Rysunek pomocniczy

Odczytujemy rozwiązanie z wykresu:

x \in(-\infty;-\sqrt{2})\cup (\sqrt{2};\infty)

W tym przedziale funkcją rośnie.

Funkcja jest malejąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest ujemna. Zatem analogicznie:

f'(x)<0\\ 3x^2-6<0/:3\\ x^2-2<0 \\ (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})<0

Korzystamy z tego samego wykresu, co wcześniej.

Wartości ujemne zaznaczono kolorem różowym.

Odczytujemy rozwiązanie z wykresu:

x \in (-\sqrt{2};\sqrt{2})

W tym przedziale funkcja maleje.

ksiązki Odpowiedź

Funkcja f(x) jest rosnąca w przedziale x \in(-\infty;-\sqrt{2})\cup (\sqrt{2};\infty) i malejąca w przedziale x \in (-\sqrt{2};\sqrt{2})

© medianauka.pl, 2010-09-21, ZAD-928


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.