Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 496 - pochodna funkcji a monotoniczność


Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f(x)=x^2+\frac{2}{x}.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

f'(x)=2x-\frac{2}{x^2}=\frac{2x^3-2}{x^2}

Funkcja jest rosnąca, gdy
f'(x)>0\\ 2x^3-2>0/:2\\ x^3-1>0 \\(x-1)(x^2+x+1)>0\\ x-1>0 \\ x>1

Funkcja jest malejąca, gdy
f'(x)<0\\ 2x^3-2<0/:2\\ x^3-1<0 \\(x-1)(x^2+x+1)<0\\ x-1<0 \\ x<1

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja f(x)=x^2+\frac{2}{x}

Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji musimy znaleźć jej pochodną.

f'(x)=(x^2+\frac{2}{x})'=(x^2+2x^{-1})'=2x+2\cdot (-1)x^{-1-1}=2x-2x^{-2}=2x-\frac{2}{x^2}

Funkcja jest rosnąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest dodatnia. Mamy więc warunek:

f'(x)>0\\ 2x^2-\frac{2}{x^2}>0/:2\\ x-\frac{1}{x^2}>0\\ x\cdot \frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}>0\\\frac{x^3-1}{x^2}>0

Ułamek ma w mianowniku liczbę dodatnią (kwadrat dowolnej liczby jest dodatni), zatem aby cały ułamek był dodatni, licznik musi być również większy od zera:

x^3-1>0

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

i otrzymujemy

(x-1)(x^2+x+1)>0

W drugim nawiasie mamy do czynienia z trójmianem, którego wyróżnik jest ujemny (\Delta=b^2-4ac=1-4=-3), a ponieważ współczynnik przy x2 jest dodatni, to trójmian przyjmuje wyłącznie dodatnie wartości. Aby iloczyn był dodatni, pierwszy nawias również musi być dodatni. Stąd:

x-1>0\\ x>1

W tym przedziale mamy do czynienia z funkcją rosnącą.

Funkcja jest malejąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest ujemna. Mamy więc warunek:

f'(x)<0\\ 2x^2-\frac{2}{x^2}<0/:2\\ x-\frac{1}{x^2}<0\\ x\cdot \frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}<0\\\frac{x^3-1}{x^2}<0

Ułamek ma w mianowniku liczbę dodatnią, zatem aby cały ułamek był ujemny, licznik musi być mniejszy od zera:

x^3-1<0

i otrzymujemy

(x-1)(x^2+x+1)<0

W drugim nawiasie mamy do czynienia z trójmianem, którego wyróżnik jest ujemny, a ponieważ współczynnik przy x2 jest dodatni, to trójmian przyjmuje wyłącznie dodatnie wartości. Aby iloczyn był ujemny, pierwszy nawias również musi być ujemny. Stąd:

x-1<0\\ x<1

W tym przedziale mamy do czynienia z funkcją malejącą.

ksiązki Odpowiedź

Funkcja f(x) jest malejąca w przedziale (-\infty;1) i rosnąca w przedziale (1;\infty)

© Media Nauka, 2010-09-22


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy