Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 511 - przebieg zmienności funkcji


Zbadać przebieg zmienności funkcji f(x)=\frac{x^3+1}{x^2} i naszkicować jej wykres.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Df:R\backslash \lbrace 0\rbrace \\ \lim_{x\to \infty}f(x)=+\infty\\ \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty\\ \lim_{x\to 0^+}f(x)=[\frac{1}{0^+}]=+\infty\\ \lim_{x\to 0^-}f(x)=[\frac{1}{0^+}]=+\infty
Asymptota pozioma: brak
Asymptota pionowa: x=0
\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \infty}\frac{x^3+1}{x^3}=1\\ \lim_{x\to \infty}(f(x)-ax)=\lim_{x\to \infty}(\frac{x^3+1}{x^2}-x)=\lim_{x\to \infty}(\frac{x^3+1-x^3}{x^2})=0
Asymptota ukośna: y=x

Miejsca zerowe:
\frac{x^3+1}{x^2}=0 \Leftrightarrow x^3+1=0 \\ x^3=-1\\ x=-1
Monotoniczność i ekstrema:
f'(x)=\frac{3x^2\cdot x^2-(x^3+1\cdot 2x)}{x^4}=\frac{3x^4-2x^4-2x}{x^4}=\frac{x^4-2x}{x^4}\\ x^4-2x, \ x\neq 0 \\ x(x^3-2)=0\Leftrightarrow x^3-2=0\\ x=\sqrt[3]{2}
f'(x)>0\\ x^4-2x>0\\ x(x^3-2)>0
Rysunek pomocniczy
(-\infty;0)0(0;\sqrt[3]{2})\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{2};\infty)
f'(x)+-0+
f(x)\nearrow\searrow1,9
min
\nearrow

f_{min}(\sqrt[3]{2})=\frac{3}{\sqrt[3]{2}}\approx 1,9
przebieg zmienności funkcji f(x)=\frac{x^3+1}{x^2} - mini

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Określamy dziedzinę funkcji:

Mianownik ułamka musi być różny od zera, więc
x^3\neq 0\\ x\neq 0\\ Df:R\backslash \lbrace 0\rbrace

Obliczamy granice funkcji na krańcach dziedziny i szukamy asymptot.

Obliczamy granicę funkcji w plus i minus nieskończoności:

\lim_{x\to +\infty}{\frac{x^3+1}{x^2}}=\lim_{x\to +\infty}{(x+\frac{1}{x^2})}=+\infty\\ \lim_{x\to -\infty}{\frac{x^3+1}{x^2}}=\lim_{x\to -\infty}{(x+\frac{1}{x^2})}=-\infty

Ponieważ nie istnieje granica właściwa w plus i minus nieskończoności, wykres naszej funkcji nie posiada asymptoty poziomej.

Obliczamy granicę prawostronną i lewostronną funkcji w punkcie, który nie należy do dziedziny, czyli x=0

\lim_{x\to 0^+}f(x)=[\frac{1}{0^+}]=+\infty\\ \lim_{x\to 0^-}f(x)=[\frac{1}{0^+}]=+\infty

Mamy więc asymptotę pionową o równaniu x=0

Sprawdzamy, czy wykres funkcji będzie miał asymptotę pochyłą:

\lim_{x\to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{\frac{x^3+1}{x^2}}{x}}=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{x^3+1}{x^3}=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{1+\frac{1}{x^3}}{1}=1

Ponieważ istnieje powyższa granica, a współczynnik kierunkowy prostej a=1 (jest równy tej granicy) asymptota ukośna istnieje. Szukamy więc współczynnika b w równaniu asymptoty.

\lim_{x\to \pm \infty}(f(x)-ax)=\lim_{x\to \pm \infty}{(\frac{x^3+1}{x^2}-1\cdot x)}=\lim_{x\to \pm \infty}(\frac{x^3+1}{x^2}-\frac{x^3}{x^2})=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{1}{x^2}=0

Równanie asymptoty pochyłej: y=x

Miejsca zerowe

Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji musimy rozwiązać równanie:

\frac{x^3+1}{x^2}=0

Ułamek jest równy zeru, jeżeli licznik jest równy zeru.

x^3+1=0\\ x^3=-1\\ x=\sqrt[3]{-1}\\ x=-1

Liczba -1 jest pierwiastkiem równania i miejscem zerowym naszej funkcji.

Monotoniczność funkcji i ekstrema

Aby zbadać monotoniczność funkcji i istnienie ekstremum obliczamy pochodną funkcji, korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu funkcji:

f'(x)=\frac{(x^3+1)'\cdot x^2-(x^3+1)\cdot(x^2)'}{(x^2)^2}=\frac{3x^2\cdot x^2-(x^3+1\cdot 2x)}{x^4}=\frac{3x^4-2x^4-2x}{x^4}=\frac{x^4-2x}{x^4}

Szukamy ekstremum funkcji w punktach, w których pochodna jest równa zeru:

f'(x)=0 \\ \frac{x^4-2x}{x^4}=0 \\ \frac{x(x^3-2)}{x^4}=0\\ \frac{x^3-2}{x^3}\\ x^3-2=0\\ x^3=2\\ x=\sqrt[3]{2}

W tym punkcie funkcja może mieć ekstremum o ile pochodna zmienia znak przy przejściu przez ten punkt. Sprawdzamy więc znak pochodnej. Ponieważ mianownik pochodnej jest dodatni (x4>0), to pochodna jest dodatnia, gdy licznik jest dodatni:


f'(x)>0\\ x^4-2x>0\\ x(x^3-2)>0\\x[x^3-(\sqrt[3]{2})^3]>0 \\ x(x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4})>0

Skorzystaliśmy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

Sporządzamy wykres wielomianu:

Rysunek pomocniczy

Zatem pochodna jest dodatnia dla x<0 oraz dla x>x2 (tutaj funkcja rośnie). Pochodna jest ujemna dla x z przedziału (0;x2) - w tym przedziale funkcja maleje

Sporządzamy tabelę zmienności. W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum lub takie, które nie należą do dziedziny. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość. W trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji.


(-\infty;0)0(0;\sqrt[3]{2})\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{2};\infty)
f'(x)+-0+
f(x)\nearrow\searrow1,9
min
\nearrow

Do tabeli wstawiono dodatkowo wartość funkcji w punktach, gdzie funkcja przyjmuje ekstremum:

f_{min}(\sqrt[3]{2})=\frac{(\sqrt[3]{2})^3+1}{\sqrt[3]{2^2}}=\frac{2+1}{\sqrt[3]{4}}=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\approx 1,9

Na podstawie powyższych danych sporządzamy szkic wykresu funkcji.

przebieg zmienności funkcji f(x)=\frac{x^3+1}{x^2}

© Media Nauka, 2010-10-05


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy