Zadanie - obliczanie całek
Treść zadania:
Obliczyć \(\int{3\sin^2{x}\cos{x}dx}\).
Rozwiązanie zadania
Dana jest całka, którą oznaczmy literą \(A\):
\(A=\int{3sin^2{x}\cos{x}dx}\)
Zastosujemy metodę podstawienia. Wykorzystujemy w związku z tym wzór:
Spójrzmy na lewą stronę powyższego wzoru na całkowanie przez podstawienie. Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. Tak prawie jest w tym przypadku. Pochodna funkcji sinus jest równa funkcji cosinus.
\((\sin{x})'=\cos{x}\)
Wyjmujemy stałą przed znak całki:
\(A=\int{3sin^2{x}\cos{x}dx}=3\int{sin^2{x}\cos{x}dx}\)
Stosujemy więc podstawienie:
\(\sin{x}=u\)
Obliczamy pochodną (stosując notację z użyciem literki "d" - \(dx\) oznacza pochodną względem zmiennej \(x\)):
\(\cos{x}dx=du\)
Otrzymujemy więc:
\(A=3\int{sin^2{x}\cos{x}dx}=3\int{u^2du}\)
Teraz obliczamy całkę, korzystając z podstawowego wzoru:
Mamy więc:
\(A=3\int{u^2du}=3\cdot \frac{u^{2+1}}{2+1}+C=\cancel{3}\cdot \frac{u^3}{\cancel{3}}+C=u^3+C\)
Wracamy do zmiennej \(x\):
\(A=u^3+C=\sin^3{x}+C\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-10-10, ZAD-967
