Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 524 - obliczanie całek


Oblicz:
\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

A=\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}\\ \ln{x}=u\\ \frac{1}{x}dx=du\\ A=\int{u^2du}=\frac{1}{3}u^3+C=\frac{1}{3}\ln^3{x}+C

ksiązki Rozwiązanie zadania szczegółowe

Daną całkę oznaczymy przez A:

A=\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}

i zastosujemy metodę podstawienia:

\int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(u)du}

Spójrzmy na lewą stronę wzoru. Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. Tak jest w tym przypadku.

(\ln{x})'=\frac{1}{x}

Przedstawiamy więc całkę w następującej postaci:

A=\int{\ln^2{x}\cdot \frac{1}{x}dx}

Stosujemy podstawienie:

\ln{x}=u tło

Obliczamy pochodną (stosując notację z użyciem literki "d" - dx oznacza pochodną względem zmiennej x):

\frac{1}{x}dx=du tło

Otrzymujemy:

A=\int{\ln^2{x}\cdot \frac{1}{x}dx}=\int{u^2du} tło tło tło tło

Teraz obliczamy całkę, korzystając z jednego z podstawowych wzorów na całkowanie:

\int{x^ndx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

Mamy więc:

A=\int{u^2du}=\frac{u^{2+1}}{2+1}+C=\frac{1}{3}u^3+C

Wracamy do zmiennej x:

A=\frac{1}{3}u^3+C=\frac{1}{3}\ln^3{x}+C

ksiązki Odpowiedź

\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}=\frac{1}{3}\ln^3{x}+C

© medianauka.pl, 2010-10-10, ZAD-968


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.