Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 525 - Obliczanie całek


Oblicz
\int{2^{2x}\ln{2}dx}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

A=\int{2^{2x}\ln{2}dx}\\ 2^x=u\\ 2^x\ln{2}dx=du\\ A=\int{udu}=\frac{1}{2}u^2+C=\frac{1}{2}2^{2x}+C=2^{2x-1}+C

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy całkę A:

A=\int{2^{2x}\ln{2}dx}=\int{(2^{x})^2\ln{2}dx}

Skorzystamy z metody podstawienia:

\int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(u)du}

Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. W tym przypadku mamy:

(2^x)'=2^x\ln{2}

Stosujemy proste podstawienie:

2^x=u tło

Obliczamy pochodną

(Notacja "dx" oznacza pochodną względem zmiennej x):

2^x\ln{2}dx=du tło

Otrzymujemy:

A=\int{2^x\cdot 2^x\ln{2}dx}=\int{udu} tło tło tło tło

Teraz obliczamy całkę, korzystając ze wzoru:

\int{x^ndx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

I otrzymujemy:

A=\int{udu}=\frac{u^{1+1}}{1+1}+C=\frac{1}{2}u^2+C

Wracamy do zmiennej x, otrzymując odpowiedź:

A=\frac{1}{2}u^2+C=\frac{1}{2}(2^x)^2+C=\frac{2^{2x}}{2}+C=2^{2x-1}+C

ksiązki Odpowiedź

\int{2^{2x}\ln{2}dx}=\frac{2^{2x}}{2}+C=2^{2x-1}+C

© medianauka.pl, 2010-10-10, ZAD-969


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.