Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 528 - Ile różnych prostych wyznaczają cztery punkty na płaszczyźnie


Ile różnych prostych wyznaczają cztery różne punkty na płaszczyźnie?


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

W przypadku dowolne trzy punkty nie leżą na jednej prostej - punkty te wyznaczają 6 prostych, gdy dowolne trzy punkty są współliniowe - wówczas punkty te wyznaczają 4 proste, gdy wszystkie punkty są współliniowe - 1 prostą

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy tu do czynienia z kilkoma przypadkami

Przypadek 1

Niech wszystkie punkty będą współliniowe, czyli leżą na jednej prostej (patrz rysunek). W takim przypadku . Ponieważ w treści zadania chodzi o różne proste, więc punkty te wyznaczają tylko jedną taką prostą. Zgodnie z aksjomatem o dwóch punktach i prostej przez dwa różne punkty przechodzi jedna i tylko jedna prosta, to skoro dwa pozostałe punkty leżą na tej samej prostej, wszystkie inne proste wyznaczone przez te punkty są identyczne.

Ile różnych prostych wyznaczają cztery różne punkty na płaszczyźnie

Przypadek 2

Niech trzy punkty będą współliniowe, a czwarty punkt nie jest współliniowy z pozostałymi trzema (patrz rysunek). W takim przypadku trzy współliniowe punkty wyznaczają jedną taką prostą i każdy z nich z czwartym punktem wyznacza jedną prostą zgodnie z aksjomatem o dwóch punktach i prostej. Punkty te wyznaczają zatem cztery takie proste.

Ile różnych prostych wyznaczają cztery różne punkty na płaszczyźnie

Przypadek 3

Jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe (dwa punkty zawsze wyznaczają jakąś prostą), to w takim przypadku punkty te wyznaczają 6 różnych prostych. Możemy się posłużyć następującym uzasadnieniem: zgodnie z aksjomatem dwa różne punkty A i B wyznaczają jedną prostą AB. Wypisujemy więc wszystkie możliwości w postaci zbioru różnych prostych: {AB, AC, AD, BC, BD, CD}, pamiętając że AB i BA to proste identyczne. Zbiór posiada 6 elementów.

Ile różnych prostych wyznaczają cztery różne punkty na płaszczyźnie

ksiązki Odpowiedź

Cztery różne punkty na płaszczyźnie wyznaczają 1,4 lub 6 prostych

© Media Nauka, 2010-10-16


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy