Zadanie - odległość punktów

Treść zadania:

Jaka jest odległość między różnymi punktami \(A, B\), jeżeli \(|AC|=4, |BC|=5\)?


ksiązki Rozwiązanie zadania

Posługujemy się aksjomatem o odległości. Odległość jest nieujemna, więc:

1) |AB|>0

Teraz rozpatrzymy przypadek, gdy punkty są współliniowe. Musi być więc spełniony jeden z warunków: \(|AB|+|BC|=|AC| i |BC|+|CA|=|BA| i |CA|+|AB|=|CB|\). Podstawiamy więc wartości liczbowe i wyznaczamy z równań \(|AB|\)

\(|AB|+|BC|=|AC|\)
\(|AB|+5=4\)
\(|AB|=1\)

\(|AB|+|AC|=|BC|\)
\(|AB|+4=5\)
\(|AB|=-1\) - nie spełnia warunku 1, więc rozwiązania nie bierzemy pod uwagę.

\(|AC|+|BC|=|AB|\)
\(4+5=|AB|\)
\(|AB|=9\)

Zatem
\(|AB|=1\) lub \(|AB|=9\)

2) Teraz sprawdzimy przypadek, gdy punkty nie są współliniowe. Spełnione (zgodnie z aksjomatem odległości) muszą być wszystkie trzy nierówności:

\begin{cases} |AB|+|BC|>|AC|\\ |AB|+|AC|>|BC|\\ |AC|+|BC|>|AB|\end{cases}\\ \begin{cases} |AB|+5>4\\ |AB|+4>5\\ 4+5>|AB|\end{cases}\\ \begin{cases} |AB|>-1\\ |AB|>1\\ |AB|<9 \end{cases} \\ |AB|\in <1;9>

Warto zaznaczyć przedziały na osi liczbowej i znaleźć część wspólną, uwzględniając warunki 1 i 2

Przedziały na osi liczbowej

otrzymujemy rozwiązanie: \(|AB|\in <1;9>\)

ksiązki Odpowiedź

\(|AB|\in <1;9>\)

© medianauka.pl, 2010-10-16, ZAD-978

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu \((x-3)^2+(y-3)^2=4\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Obliczyć odległość punktu \(A=(-3,4)\) od prostej o równaniu \(y=-2x+2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obliczyć odległość punktu \(M=(1,2)\) od trójkąta wyznaczonego przez punkty \(A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej \(y=3x+2\) jest równa \(\sqrt{2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Dane są punkty \(A=(\frac{\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}), \ B=(\frac{1}{\sqrt{2}}, 3\sqrt{2}+1)\). Obliczyć odległość \(|AB|\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Oblicz odległość punktu \(P=(3,2)\) od prostej \(3x+4y-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Oblicz odległość punktu \(P=(-1,1)\) od prostej \(y=2x-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

ilustracja do zadania 13 , matura 2016W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału

A. \(\langle \frac{9}{2};\frac{11}{2}\rangle\)

B. \(\langle \frac{11}{2};\frac{13}{2}\rangle\)

C. \(\langle \frac{13}{2};\frac{19}{2}\rangle\)

D. \(\langle \frac{19}{2};\frac{37}{2}\rangle\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa

A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)

B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)

C. \(\frac{4}{5}\)

D. \(4\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Punkt \(A=(7,−1)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Obie współrzędne wierzchołka \(C\) są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie \(x^2+y^2=10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Prosta przechodząca przez punkty \(A=(8, −6)\) i \(B=(5, 15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O=(0, 0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.