Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia stosujemy w matematyce wyjątkowo często. Oto niektóre przykłady wykorzystania:

Rozkładanie sum algebraicznych na czynniki

Rozłożenie sumy algebraicznej na czynniki, to nic innego jak przedstawienie jej w postaci iloczynu co najmniej dwóch czynników. Aby to osiągnąć zwykle:

grupujemy wyrazy
wyłączamy wspólny czynnik przed nawias
stosujemy wzory skróconego mnożenia

Przykład

$a) \ 2a^2+4ab+2b^2=2(a^2+2ab+b^2)=2(a+b)^2 \\b) \ x^3+2x^2y+xy^2=x(x^2+2xy+y^2)=x(x+y)^2 \\ c) \ x^2+2xy+y^2-1=(x+y)^2-1=(x+y+1)(x+y-1)$

W powyższym przykładzie dwa razy zastosowano wzory skróconego mnożenia - pierwszy raz na kwadrat sumy, a drugi raz na różnicę kwadratów (ponieważ , gdzie a = x+y i b = 1).

$d) \ mn-np+m^2-mp=(mn-np)+(m^2-mp)=\\=n(m-p)+m(m-p)=(m-p)(m+n)$

W powyższym przykładzie zastosowano grupowanie wyrazów i wyciągnięto przed nawias wspólny czynnik, którym jest tutaj wyrażenie (m-p).

$e) \ 8p^3-3p=8p(p^2-\frac{3}{8})=8p(p-\sqrt{\frac{3}{8}})(p+\sqrt{\frac{3}{8}})$

Pozbywanie się niewymierności z mianownika

Jeżeli w mianowniku ułamka pojawia się jako składnik sumy pierwiastek, korzystamy z wzoru na różnicę kwadratów. Oto przykład:

Przykład

$\frac{2}{2+\sqrt{7}}=\frac{2\cdot(2-\sqrt{7})}{(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7})}=\frac{4-2\sqrt{7}}{4-7}=-\frac{4-2\sqrt{7}}{3}$

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Rozłożyć na czynniki wyrażenie

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozłożyć na czynniki wyrażenie

, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozłożyć na czynniki wyrażenie

, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozłożyć na czynniki sumę $2\sqrt{2}+a\sqrt{2}-2\sqrt{3}-a\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Pozbyć się niewymierności z mianownika
a)

b) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność $4x^2-8xy+5y^2\geq 0$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Wartość wyrażenia $\frac{2}{\sqrt{3}-1}-\frac{2}{\sqrt{3}+1}$ jest równa:

A. -2
B. $-2\sqr{3}$
C. 2
D. $2\sqr{3}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x²y²+2x²+2y²−8xy+4>0.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia to jedne z najczęściej wykorzystywanych wzorów w matematyce: kwadrat sumy, różnica sumy, różnica kwadratów, sześcian sumy i inne.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.