Logo Serwisu Media Nauka


Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia

Teoria Wzory skróconego mnożenia stosujemy w matematyce wyjątkowo często. Oto niektóre przykłady wykorzystania:

Rozkładanie sum algebraicznych na czynniki

Rozłożenie sumy algebraicznej na czynniki, to nic innego jak przedstawienie jej w postaci iloczynu co najmniej dwóch czynników. Aby to osiągnąć zwykle:

  • grupujemy wyrazy
  • wyłączamy wspólny czynnik przed nawias
  • stosujemy wzory skróconego mnożenia

Przykład Przykład

a) \ 2a^2+4ab+2b^2=2(a^2+2ab+b^2)=2(a+b)^2 \\b) \  x^3+2x^2y+xy^2=x(x^2+2xy+y^2)=x(x+y)^2 \\ c) \  x^2+2xy+y^2-1=(x+y)^2-1=(x+y+1)(x+y-1)

W powyższym przykładzie dwa razy zastosowano wzory skróconego mnożenia - pierwszy raz na kwadrat sumy, a drugi raz na różnicę kwadratów (ponieważ a^2-b^2=(a+b)(a-b), gdzie a = x+y i b = 1).

d) \ mn-np+m^2-mp=(mn-np)+(m^2-mp)=\\=n(m-p)+m(m-p)=(m-p)(m+n)

W powyższym przykładzie zastosowano grupowanie wyrazów i wyciągnięto przed nawias wspólny czynnik, którym jest tutaj wyrażenie (m-p).

e) \ 8p^3-3p=8p(p^2-\frac{3}{8})=8p(p-\sqrt{\frac{3}{8}})(p+\sqrt{\frac{3}{8}})

Pozbywanie się niewymierności z mianownika

Jeżeli w mianowniku ułamka pojawia się jako składnik sumy pierwiastek, korzystamy z wzoru na różnicę kwadratów. Oto przykład:

Przykład Przykład

\frac{2}{2+\sqrt{7}}=\frac{2\cdot(2-\sqrt{7})}{(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7})}=\frac{4-2\sqrt{7}}{4-7}=-\frac{4-2\sqrt{7}}{3}


© Media Nauka, 2009-03-21, ART-169



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 58 - rozkładanie na czynniki wyrażenia
Rozłożyć na czynniki wyrażenie x^4-y^4

zadanie - ikonka Zadanie 351 - rozkład sumy algebraicznej na czynniki
Rozłożyć na czynniki wyrażenie 24-10a+a^2, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

zadanie - ikonka Zadanie 352 - rozkładanie sum algebraicznych na czynniki
Rozłożyć na czynniki wyrażenie 12a^2-12a+3, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

zadanie - ikonka Zadanie 353 - rozkład sumy algebraicznej na czynniki
Rozłożyć na czynniki sumę 2\sqrt{2}+a\sqrt{2}-2\sqrt{3}-a\sqrt{3}

zadanie - ikonka Zadanie 354 - usuwanie niewymierności z mianownika
Pozbyć się niewymierności z mianownika
a)
b) \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 27, matura 2015 (poziom podstawowy)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 4x^2-8xy+5y^2\geq 0

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 8, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x^4-x^2-2x+3>0.



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy