logo



Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji

Teoria Obliczanie wartości granic ciągów na podstawie definicji zostanie przedstawiona na przykładach.

Przykład Przykład

Obliczyć granicę ciągu a_n=\sqrt{n^2+1}+n .

Jeżeli od razu nie widzimy zbieżności/rozbieżności ciągu, warto narysować sobie szkic wykresu tego ciągu.

Wykres ciagu

Widzimy, że ciąg jest rozbieżny do nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla każdej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od M.
Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0
\sqrt{n^2+1}+n>M
Zauważamy, że \sqrt{n^2+1}\approx{\sqrt{n^2}=n}
n+n>M\\2n>M/:2\\n>\frac{M}{2}
Ponieważ n jest liczbą naturalną, to przybliżenie wykluczy z prawie wszystkich wyrazów ciągu co najwyżej jeden element, więc możemy powiedzieć, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego wyrazu ciągu(n_0>\frac{M}{2}) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.
Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.
\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+1}+n)=+\infty

Przykład Przykład

Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\frac{30}{2n+7}=0

Zgodnie z definicją granicy ciągu musimy wykazać, że zero jest granicą ciągu (an) przy n dążącym do nieskończoności jeżeli dla każdego epsilon istnieje taka liczba n0, że dla każdego n > n0 spełniona jest nierówność |a_n-0|<\varepsilon, czyli
|\frac{30}{2n+7}|<\varepsilon
Ponieważ wartość wyrażenia pod wartością bezwzględną jest zawsze dodatnia, możemy opuścić wartość bezwzględną i zapisać:
\frac{30}{2n+7}<\varepsilon
Rozwiązujemy nierówność
\frac{30}{2n+7}-\varepsilon<0\\{\frac{30-\varepsilon(2n+7)}{2n+7}<0}
Powyższy ułamek jest mniejszy od zera, jeśli licznik jest ujemny.
30-\varepsilon (2n+7)<0\\{\varepsilon(2n+7)>30}\\2n\varepsilon{>}30-7\varepsilon\\n>\frac{30-7\varepsilon}{2\varepsilon}
Istniej więc takie n0, równe na przykład n_0=[\frac{30-7\varepsilon}{2\varepsilon}]+1, (zapis [ ] oznacza część całkowitą liczby), że dla każdego numeru wyrazu ciągu większego od n0 prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają badaną nierówność, więc zero jest granicą tego ciągu.
Zilustrujmy ten przykład animacją, żeby lepiej go zrozumieć.

© Media Nauka, 2009-09-05, ART00192/312



Zadania

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 90 - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty

zadanie - ikonka Zadanie 91 - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że \lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty

zadanie - ikonka Zadanie 92 - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty

zadanie - ikonka Zadanie 93 - obliczanie granic niewłaściwych z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}5^n=\infty

zadanie - ikonka Zadanie 94 - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji
Wykazać na podtawie definicji, że \lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2