OBLICZANIE GRANICY CIĄGU NA PODSTAWIE DEFINICJI

Obliczanie wartości granic ciągów na podstawie definicji zostanie przedstawiona na przykładach.

Obliczyć granicę ciągu

Jeżeli od razu nie widzimy zbieżności/rozbieżności ciągu, warto narysować sobie szkic wykresu tego ciągu.

Widzimy, że ciąg jest rozbieżny do nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla każdej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od M.
Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n₀

Zauważamy, że

Ponieważ n jest liczbą naturalną, to przybliżenie wykluczy z prawie wszystkich wyrazów ciągu co najwyżej jeden element, więc możemy powiedzieć, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n₀-tego wyrazu ciągu() prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.
Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.



Wykazać, że

Zgodnie z definicją granicy ciągu musimy wykazać, że zero jest granicą ciągu (a_n) przy n dążącym do nieskończoności jeżeli dla każdego epsilon istnieje taka liczba n₀, że dla każdego n > n0 spełniona jest nierówność , czyli

Ponieważ wartość wyrażenia pod wartością bezwzględną jest zawsze dodatnia, możemy opuścić wartość bezwzględną i zapisać:

Rozwiązujemy nierówność

Powyższy ułamek jest mniejszy od zera, jeśli licznik jest ujemny.

Istniej więc takie n₀, równe na przykład , (zapis [ ] oznacza część całkowitą liczby), że dla każdego numeru wyrazu ciągu większego od n₀ prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają badaną nierówność, więc zero jest granicą tego ciągu.
Zilustrujmy ten przykład animacją, żeby lepiej go zrozumieć.

© Media Nauka, 2009-09-05
ART00192/312