Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

książki Niech dany będzie trójkąt prostokątny, zilustrowany poniższym rysunkiem:

funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie

SINUS

definicja Definicja

Sinus kąta ostrego jest to stosunek przyprostokątnej przeciwległej kątowi ostremu \alpha do przeciwprostokątnej.

\sin{\alpha}=\frac{przyprostokatna\ przeciwlegla}{przeciwprostokatna}=\frac{a}{c}

Zapiszemy teraz funkcję sinus dla kąta \beta, używając powyższej definicji: \sin{\beta}=\frac{b}{c}.

COSINUS

definicja Definicja

Cosinus kąta ostrego (czytaj: kosinus) jest to stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego \alpha do przeciwprostokątnej.

\cos{\alpha}=\frac{przyprostokatna\ przylegla}{przeciwprostokatna}=\frac{b}{c}

Zapiszemy teraz funkcję cosinus dla kąta \beta, używając powyższej definicji: \cos{\beta}=\frac{a}{c}.

TANGENS

definicja Definicja

Tangens kąta ostrego jest to stosunek przyprostokątnej przeciwległej kątowi ostremu \alpha do przyprostokątnej przyległej.

tg{\alpha}=\frac{przyprostokatna\ przeciwlegla}{przyprostokatna\  przylegla}=\frac{a}{b}

Zapiszemy teraz funkcję tangens dla kąta \beta, używając powyższej definicji: tg{\beta}=\frac{b}{a}.
Czasem dla oznaczenia tangensa używa się skrótów: tan, tang.

COTANGENS

definicja Definicja

Cotangens (czytaj kotangens) kąta ostrego jest to stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego \alpha do przyprostokątnej przeciwległej.

ctg{\alpha}=\frac{przyprostokatna\ przylegla}{przyprostokatna\  przeciwlegla}=\frac{b}{a}

Zapiszemy teraz funkcję cotangens dla kąta \beta, używając powyższej definicji: ctg{\beta}=\frac{a}{b}.
Czasem dla oznaczenia cotangensa używa się skrótów: ctn, cot.

SECANS

definicja Definicja

Secans (czytaj sekans) kąta ostrego jest to stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej przyległej kąta ostrego \alpha.

sec{\alpha}=\frac{przeciwprostokatna}{przyprostokatna\  przylegla}=\frac{c}{b}

Zapiszemy teraz funkcję secans dla kąta \beta, używając powyższej definicji: sec{\beta}=\frac{c}{a}.

COSECANS

definicja Definicja

Cosecans (czytaj kosekans) kąta ostrego jest to stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej przeciwległej kątowi ostremu \alpha.

cosec{\alpha}=\frac{przeciwprostokatna}{przyprostokatna\  przeciwlegla}=\frac{c}{a}

Zapiszemy teraz funkcję cosecans dla kąta \beta, używając powyższej definicji: cosec{\beta}=\frac{c}{b}.
Czasem dla oznaczenia cotangensa używa się skrótu: csc.

książki Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów:

\alpha30°45°60°90°
\sin{\alpha}0\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}1
\cos{\alpha}1\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}0
tg{\alpha}0\frac{\sqrt{3}}{3}1\sqrt{3}-
ctg{\alpha}-\sqrt{3}1\frac{\sqrt{3}}{3}0

książki Zauważamy, że:

ctg\alpha=\frac{1}{tg\alpha},\  sec\alpha=\frac{1}{\cos{\alpha}}, \ cosec\alpha=\frac{1}{sin\alpha}

Wynika to wprost z definicji tych funkcji trygonometrycznych.

Głównym celem definiowania funkcji trygonometrycznych jest rozwiązywanie trójkątów, to znaczy wyznaczanie wszystkich jego boków i kątów. Poniżej prosty przykład zastosowania funkcji trygonometrycznej:

kulka Przykład

Chłopiec stoi w odległości 100 m od latarni, którą widzi pod kątem 30°. Jaka jest wysokość latarni?

zastosowanie funkcji trygonometrycznych

Korzystamy z definicji tangensa kąta ostrego:

tg{30^o}=\frac{h}{100 m}/\cdot 100m\\ h=tg30^o\cdot 100m\\ h=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 100m\\ h\approx 57,7 m

© Media Nauka, 2011-03-22, ART-1255



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 723 - funkcje trygonometryczne
Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości a, ramionach długości b, kątami wewnętrznymi przy podstawie trójkąta \beta oraz \alpha przy wierzchołku trójkąta z którego opada wysokość h na podstawę trójkąta. Zapisać podstawowe funkcje trygonometryczne dla katów: \beta, \frac{\alpha}{2}.

zadanie - ikonka Zadanie 724 - funkcje trygonometryczne
Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnej długości a=\sqrt{2}. Oblicz długość podstawy korzystając z funkcji trygonometrycznych.

zadanie - ikonka Zadanie 725 - funkcje trygonometryczne
Obliczyć długość podstawy prostokąta, jeżeli przekątna o długości d=2\sqrt{3} tworzy z podstawą kąt \alpha=30^o.

zadanie - ikonka Zadanie 726 - funkcje trygonometryczne
Obliczyć promień R okręgu opisanego na sześciokącie foremnym, jeżeli wiadomo, że długość promienia wpisanego w ten wielokąt r=2.

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom podstawowy)
ilustracja do zadania 13 , matura 2016W okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem AS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu S od cięciwy AB jest liczbą z przedziału

A. a
B. b
C. c
D. d

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 17, matura 2016 (poziom podstawowy)
Kąt alfa jest ostry i tg{\alpha}=\frac{2}{3}. Wtedy:

A. sin{\alpha}=\frac{3\sqrt{13}}{26}
B. sin{\alpha}=\frac{\sqrt{13}}{13}
C. sin{\alpha}=\frac{2\sqrt{13}}{13}
D. sin{\alpha}=\frac{3\sqrt{13}}{13}

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 23, matura 2016 (poziom podstawowy)
Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa

A. 36π
B. 18π
C. 24π
D. 8π

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 24, matura 2016 (poziom podstawowy)
Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).
Ilustracja do zadania nr 24, matura z matematyki 2016, poziom podstawowy
Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°