Logo Serwisu Media Nauka


Równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi

Definicja Definicja

Równanie w postaci

ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0

gdzie zachodzi co najmniej jedna z zależności: a\neq{0},b\neq{0},c\neq{0}, natomiast d, e, f - są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy równaniem drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Przykład Przykład

Kilka przykładów takich równań:
-x^2-2y^2+34y-5=0\\xy+1=0\\x^2+y^2=0

Teoria Rozwiązanie równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi polega na podaniu zbioru par liczb, które spełniają dane równanie. Przedstawiamy zwykle obraz geometryczny zbioru rozwiązań takiego równania poprzez sporządzenie wykresu takiego równania.

Wykresem takiego równania może być okrąg, elipsa, parabola, hiperbola. Równanie może też nie mieć rozwiązania lub może spełniać je para liczb.

Równanie kanoniczne okręgu

Teoria Szczególnym przypadkiem równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi jest równanie kanoniczne okręgu:

(x-p)^2+(y-q)^2=r^2

gdzie r>0 jest promieniem okręgu, a S(p,q) jest jego środkiem.

równanie okręgu

Przykład Przykład

Znajdziemy dla przykładu zbiór rozwiązań równania x^2+y^2-6x-2y+6=0.

Ponieważ w równaniu nie ma wyrazu xy, a obie niewiadome występują w drugiej potędze, prawdopodobnie wykresem tego równania będzie okrąg. Trzeba jednak przekształcić powyższe równanie do postaci kanonicznej.

Grupujemy wyrazy: x^2-6x+y^2-2y+6=0
Aby skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia musimy jeszcze mieć wyrazy wolne, możemy więc dodać je do obu stron równania.

(x^2-6x+9)+(y^2-2y+1)+6=9+1\\(x-3)^2+(y-1)^2=10-6\\(x-3)^2+(y-1)^2=2^2

Teraz wyraźnie widać, że rozwiązaniem równania jest zbiór par liczb, będących współrzędnymi punktów należących do okręgu o promieniu r=2 i środku S(3,1).

wykres


© Media Nauka, 2009-08-16, ART-276



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 177 - równanie okręgu
Rozwiązać graficznie równanie x^2+y^2+4x+6y+9=0.

zadanie - ikonka Zadanie 178 - równanie okręgu - odczyt z wykresu
Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.
okrąg w układzie współrzędnych

zadanie - ikonka Zadanie 179 - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie xy-1=0

zadanie - ikonka Zadanie 180 - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie 2x^2+y+x-1=0

zadanie - ikonka Zadanie 583 - równanie okręgu
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty A=(1,1), \ B=(5,1),\ C=(3,2\sqrt{3}+1)

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 8, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że x2+y2=2, prawdziwa jest nierówność x +y ≤ 2.

zadanie - ikonka Zadanie 667 - długość wektora i równanie okręgu
Dany jest punkt A=(-1,1). Znaleźć punkt B jeżeli wiadomo, że |\vec{AB}|=4.



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy