Dywergencja

Dywergencja jest operatorem matematycznym wektorowym, który polu wektorowemu przypisuje pewne pole skalarne.

Dywergencja nazywana także źródłowością. Jeżeli za pomocą funkcji wektorowej opiszemy pole pewnego prądu, na przykład przepływu cieczy, to dywergencja oznacza ilość tej cieczy na jednostkę objętości i czasu w danym punkcie pola wektorowego.

Jeżeli dywergencja jest dodatnia, to mamy do czynienia z ucieczką wielkości fizycznej z układu (np. masy tej cieczy). Mamy wówczas do czynienia ze źródłem tej wielkości (masy cieczy). W przypadku, gdy dywergencja jest ujemna, mamy do czynienia z wpływaniem pewnej wielkości fizycznej do układu (ścieki). Gdy dywergencja jest równa zeru, tyle samo np. masy cieczy wpływa do układu, ile wypływa.

Ilustruje to poniższy rysunek.

Oznaczenie dywergencji

Dywergencję pola wektorowego\(\vec{F}\) oznaczamy w następujący sposób:

\(div \vec{F}\),
\(\nabla \circ \vec{F}\), gdzie \(\nabla\) jest operatorem nabla, a znak \(\circ\) oznacza iloczyn skalarny.

Przykład fizyczny

Działanie dywergencji najlepiej obrazuje przepływ cieczy. Wyobraźmy sobie wodę wypełniającą przestrzeń: jeśli w danym punkcie znajduje się jej źródło (np. odkręcony kran), dywergencja pola prędkości jest tam dodatnia. Jeśli natomiast woda w danym punkcie 'znika' (np. wpada do odpływu), dywergencję określamy jako ujemną. Tę samą logikę stosujemy w fizyce klasycznej — zgodnie z prawem Gaussa, dodatnia dywergencja pola elektrycznego świadczy o obecności ładunków dodatnich, które stanowią źródło linii tego pola.

Dywergencja w układzie kartezjańskim

W układzie kartezjańskim wzór na dywergencję jest następujący:

\(div \vec{F} = \nabla \circ \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z},\)
\( \vec{F}(x,y,z) = F_x\vec{i}+F_y\vec{j}+F_z\vec{k}\)

gdzie \(\vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k}\) oznaczają wersory (wektory bazowe) układu.

Przykład

Obliczyć dywergencję pola wektorowego

\(\vec{F} = [xyz,x^2+y^2,y^2+z^2]\)

Korzystając z powyższego wzoru obliczamy kolejne pochodne cząstkowe i w efekcie dywergencję:

\(\nabla \circ \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}=\)

\(=\frac{\partial}{\partial x}(xyz)+\frac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2)+\frac{\partial}{\partial z}(y^2+z^2)=\)

\(=yz+2y+2z\)

Związek z gradientem

Gradient i dywergencja to dwa różne, ale powiązane operatory. Gradient działa na pole skalarne i tworzy pole wektorowe — opisuje kierunek najszybszego wzrostu. Dywergencja działa na pole wektorowe i opisuje „źródła” i „ujścia” pola. Można powiedzieć, że gradient opisuje zmiany wartości, a dywergencja — zachowanie pola jako całości w przestrzeni.

Dywergencja opisuje zachowanie pola w nieskończenie małym otoczeniu danego punktu. Aby to zrozumieć, wyobraźmy sobie bardzo małą, sztywną kostkę umieszczoną w przestrzeni wypełnionej polem:

Jeśli strumień pola wychodzący przez ścianki takiej kostki jest większy niż strumień do niej wpływający — dywergencja w tym punkcie jest dodatnia (punkt jest źródłem).
Jeśli więcej pola wpływa do wnętrza kostki, niż z niej wypływa — dywergencja jest ujemna (punkt jest ujściem).
Jeśli bilans wejścia i wyjścia jest zerowy — dywergencja wynosi zero (pole jest bezźródłowe).

Dzięki temu dywergencja jest miarą lokalnej gęstości strumienia pola, czyli matematycznym zapisem tego, czy w danym punkcie pole „powstaje”, czy „znika”.

Pole źródłowe