Energia w ruchu drgającym

Punkt materialny o masie m podlega ruchowi drgającemu harmonicznemu. Jak zmienia się energia takiego punktu?

Obliczymy najpierw energię kinetyczną w ruchu harmonicznym. Korzystamy ze wzoru na energię kinetyczną:

oraz ze wzoru na prędkość w ruchu harmonicznym:

v = -Aωsin(ωt+φ)

Otrzymujemy:

$E_k=\frac{mv^2}{2}=\frac{1}{2}mA^2\omega^2sin^2(\omega t+\phi)$ .

W przypadku energii potencjalnej zależy ona od wydłużenia ośrodka sprężystego. Energia potencjalna będzie równa pracy, jaką należy wykonać, aby rozciągnąć sprężynę na odległość x, czyli:

Z artykułu o ruchu harmonicznym wiemy, że Składowa x wektora siły dana jest wzorem Fx=-kx, zaś x=Acos(ωt+φ). Zatem:

$E_p=\frac{1}{2}F_x\cdot x=\frac{1}{2}kA^2cos^2(\omega t+\phi)$

Energia całkowita drgającego harmonicznie punktu materialnego będzie sumą energii potencjalnej i kinetycznej. Skorzystamy tutaj z trygonometrycznego wzoru jedynkowego $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$ oraz zależności k=mω².

Dokonujemy obliczeń:

$E=E_k+E_p=\frac{1}{2}mA^2\omega^2sin^2(\omega t+\phi)+\frac{1}{2}kA^2cos^2(\omega t+\phi)=\\\frac{1}{2}A^2[m\omega^2sin^2(\omega t+\phi)+kcos^2(\omega t+\phi)]=\\\frac{1}{2}kA^2[sin^2(\omega t+\phi)+cos^2(\omega t+\phi)]=\\\frac{1}{2}kA^2$

Mamy więc:

$E=\frac{1}{2}kA^2$

lub

$E=\frac{1}{2}m\omega^2A^2$

Wnioski

Oto wnioski dotyczące energii w ruchu harmonicznym:

Energia całkowita układu drgającego swobodnie ruchem harmonicznym jest stała, co stoi w zgodzie z zasadą zachowania energii.
Energia potencjalna jest największa w chwili, gdy punkt materialny ma wychylenie równe amplitudzie, natomiast jest równa zeru gdy punkt osiąga punkt równowagi.
Energia kinetyczna jest równa zeru w chwili najwyższego wychylenia punktu materialnego, natomiast największa, gdy przechodzi przez punkt równowagi.
W ruchu drgającym swobodnym mamy ciągłe i cykliczne przemiany energii potencjalnej w kinetyczną i odwrotnie.