Logo Media Nauka

Facebook

Energia w ruchu drgającym

Punkt materialny o masie m podlega ruchowi drgającemu harmonicznemu. Jak zmienia się energia takiego punktu?

Obliczymy najpierw energię kinetyczną w ruchu harmonicznym. Korzystamy ze wzoru na energię kinetyczną:

oraz ze wzoru na prędkość w ruchu harmonicznym:

v = -Aωsin(ωt+φ)

Otrzymujemy:

E_k=\frac{mv^2}{2}=\frac{1}{2}mA^2\omega^2sin^2(\omega t+\phi).

W przypadku energii potencjalnej zależy ona od wydłużenia ośrodka sprężystego. Energia potencjalna będzie równa pracy, jaką należy wykonać, aby rozciągnąć sprężynę na odległość x, czyli:

Z artykułu o ruchu harmonicznym wiemy, że Składowa x wektora siły dana jest wzorem Fx=-kx, zaś x=Acos(ωt+φ). Zatem:

E_p=\frac{1}{2}F_x\cdot x=\frac{1}{2}kA^2cos^2(\omega t+\phi)

Energia całkowita drgającego harmonicznie punktu materialnego będzie sumą energii potencjalnej i kinetycznej. Skorzystamy tutaj z trygonometrycznego wzoru jedynkowego \sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1 oraz zależności k=mω2.

Dokonujemy obliczeń:

E=E_k+E_p=\frac{1}{2}mA^2\omega^2sin^2(\omega t+\phi)+\frac{1}{2}kA^2cos^2(\omega t+\phi)=\\\frac{1}{2}A^2[m\omega^2sin^2(\omega t+\phi)+kcos^2(\omega t+\phi)]=\\\frac{1}{2}kA^2[sin^2(\omega t+\phi)+cos^2(\omega t+\phi)]=\\\frac{1}{2}kA^2

Mamy więc:

E=\frac{1}{2}kA^2

lub

E=\frac{1}{2}m\omega^2A^2

Wnioski

Oto wnioski dotyczące energii w ruchu harmonicznym:

  • Energia całkowita układu drgającego swobodnie ruchem harmonicznym jest stała, co stoi w zgodzie z zasadą zachowania energii.
  • Energia potencjalna jest największa w chwili, gdy punkt materialny ma wychylenie równe amplitudzie, natomiast jest równa zeru gdy punkt osiąga punkt równowagi.
  • Energia kinetyczna jest równa zeru w chwili najwyższego wychylenia punktu materialnego, natomiast największa, gdy przechodzi przez punkt równowagi.
  • W ruchu drgającym swobodnym mamy ciągłe i cykliczne przemiany energii potencjalnej w kinetyczną i odwrotnie.


© medianauka.pl, 2020-08-01, ART-3922

 








Polecamy w naszym sklepie

laboratorium w szufladzie Fizyka
30 sekund o teorii kwantów
FUNDAMENTALNIE. TAK FIZYKA KWANTOWA I FIZYKA FIZYKA CZĄSTEK ELEMENTARNYCH WYJAŚNIA WSZYSTKO (OPRÓCZ GRAWITACJI)
magnetyczna klepsydra
The Manga Guide Wszechświat
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2021 r.