Gradient

Gradient jest to wektor przyporządkowany każdemu punktowi skalarnego pola \(U\), który spełnia łącznie następujące warunki:

ma kierunek normalnej do odpowiedniej izopowierzchni pola skalarnego,
ma zwrot w kierunku wzrostu wartości pola skalarnego,
jego moduł jest równy pochodnej funkcji skalarnej \(U\) w kierunku normalnej.

Gradient funkcji skalarnej \(f\) ma następujące oznaczenia:

\(grad f\),
\(\nabla f\), gdzie symbol \(\nabla\) to tak zwany operator nabla.

Gradient we współrzędnych kartezjańskich

We współrzędnych kartezjańskich gradient funkcji skalarnej \(f(x,y,z)\) dany jest wzorem:

\(\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}\)

lub

\(\nabla f=[\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}]\)

Wektor gradientu wskazuje kierunek największego wzrostu funkcji w danym punkcie, natomiast długość tego wektora opisuje wielkość tego wzrostu.

Gradient jest operatorem, który przekształca pole skalarne w pole wektorowe. Oznacza to, że przyporządkowuje każdemu punktowi przestrzeni wektor opisujący lokalne zmiany funkcji w tym punkcie. Innymi słowy, gradient „zamienia” informację o wartościach (np. temperaturze) na informację o kierunku i szybkości zmian tej wielkości. Pozwala przejść od opisu stanu (pole skalarne) do opisu działania (pole wektorowe), np. od potencjału do pola sił.

Poniższy rysunek ilustruje gradient. Pole skalarne funkcji zostało zobrazowane jako obszar z odcieniami szarości. To wizualizacja gradientu na przykładzie koloru. Im jest on jaśniejszy, tym większa wartość funkcji. Strzałki przedstawiają kierunek gradientu takiej funkcji.

W przypadku gdy interesuje nas wartość gradientu w danym punkcie, obliczamy gradient danej funkcji i wstawiamy pod nasze zmienne wartości współrzędnych punktu danego punktu.

Przykład

Dana jest funkcja \(f(x,y,z)=x^2y-xy^2+xyz\).

Oblicz gradient funkcji w punkcie \((1,1,0)\).

Obliczamy gradient funkcji \(f(x,y,z)\):

\(\frac{\partial f}{\partial x}=2xy-y^2+yz\)

\(\frac{\partial f}{\partial y}=x^2-2xy+xz\)

\(\frac{\partial f}{\partial z}=xy\)

\(\nabla f=[2xy-y^2+yz, x^2-2xy+xz,xy]\)

Podstawiając za \(x=1\), \(y=1\) i \(z=0\) mamy:

\(\nabla f=[2xy-y^2+yz, x^2-2xy+xz,xy]=[1,-1,1]\)

To jedno z podstawowych pojęć matematycznych, które często jest wykorzystywane w fizyce.

Przykład fizyczny

Gradient można interpretować jako wektor, który wskazuje, w którą stronę wartość funkcji rośnie najszybciej. Niech za przykład posłuży pole temperatury. W każdym punkcie przestrzeni temperatura ma określoną wartość, czyli tworzy pole skalarne. Gradient temperatury wskazuje kierunek, w którym temperatura rośnie najbardziej gwałtownie. W fizyce przepływ ciepła zachodzi w kierunku wyznaczonym przez gradient temperatury – od miejsc cieplejszych do chłodniejszych. Dzięki temu gradient ma bezpośrednie zastosowanie w opisie rzeczywistych zjawisk fizycznych.