logo

Gradient

Gradient jest to wektor przyporządkowany każdemu punktowi skalarnego pola U, który spełnia łącznie następujące warunki:

  • ma kierunek normalnej do odpowiedniej izopowierzchni pola skalarnego,
  • ma zwrot w kierunku wzrostu wartości pola skalarnego,
  • jego moduł jest równy pochodnej funkcji skalarnej U w kierunku normalnej.

Gradient funkcji skalarnej f ma następujące oznaczenia:

  • grad f,
  • f, gdzie symbol ∇ to tak zwany operator nabla.

Gradient we współrzędnych kartezjańskich

We współrzędnych kartezjańskich gradient funkcji skalarnej f(x,y,z) dany jest wzorem:

\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}

lub

\nabla f=[\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}]

Wektor gradientu wskazuje kierunek największego wzrostu funkcji w danym punkcie, natomiast długość tego wektora opisuje wielkość tego wzrostu.

Poniższy rysunek ilustruje gradient. Pole skalarne funkcji zostało zobrazowane jako obszar z odcieniami szarości. To wizualizacja gradientu na przykładzie koloru. Im jest on jaśniejszy, tym większa wartość funkcji. Strzałki przedstawiają kierunek gradientu takiej funkcji.

gradient

W przypadku gdy interesuje nas wartość gradientu w danym punkcie, obliczamy gradient danej funkcji i wstawiamy pod nasze zmienne wartości współrzędnych punktu danego punktu.

Przykład

Dana jest funkcja f(x,y,z)=x2y-xy2+xyz.

Oblicz gradient funkcji w punkcie (1,1,0).

Obliczamy gradient funkcji f(x,y,z):

\frac{\partial f}{\partial x}=2xy-y^2+yz\\ \frac{\partial f}{\partial y}=x^2-2xy+xz\\ \frac{\partial f}{\partial z}=xy\\ \nabla f=[2xy-y^2+yz, x^2-3xy+xz,xy]

Podstawiając za x=1, y=1 i z=0 mamy:

\nabla f=[2xy-y^2+yz, x^2-3xy+xz,xy]=[1,-2,1]




© medianauka.pl, 2021-08-26, ART-4152

 








Polecamy w naszym sklepie

Kalejdoskop
The Manga Guide Wszechświat
Kolorowe skarpetki Miasto
30 sekund O teoriach naukowych
Czarnobyl i Fukushima
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2021 r.