Laplasjan

Laplasjan lub operator Laplace'a jest to operator różniczkowy zdefiniowany w układzie kartezjańskim w następujący sposób:

\(\triangle \equiv \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\)

W fizyce operator ten ma zastosowanie w opisie ruchu falowego, w fizyce kwantowej, wchodzi w skład operatora d'Alemberta.

Przykład

Obliczyć laplasjan funkcji \(f(x,y,z)=x^3yz-y^2z^3\).

\(\triangle f = \frac{\partial^2}{\partial x^2} (x^3yz-y^2z^3) +\frac{\partial^2}{\partial y^2}(x^3yz-y^2z^3)+\frac{\partial^2}{\partial z^2}(x^3yz-y^2z^3)=6xyz-2z^3-6y^2z\)

Laplasjan pola skalarnego interpretujemy jako miarę różnicy średniej wartości pola w nieskończenie małym otoczeniu tego punktu i wartości pola w tym punkcie. Opisuje dywergencję z gradientu pola.

Używając różnych oznaczeń można zapisać:

\(\triangle f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f = div \ grad \ f\)