Równania Maxwella

Równania Maxwella albo prawa Maxwella to cztery podstawowe równania, za pomocą których można opisać własności pola magnetycznego i elektrycznego. To podstawowe równania elektromagnetyzmu, które wyraża się w postaci całkowej lub w postaci różniczkowej.

Równania Maxwella wymagają znajomości matematyki wyższej.

Lp.	Postać całkowa	Postać różniczkowa	Nazwa	Opis
1.	\(\oint_{L}{\vec{E}\cdot}d\vec{l}=-\frac{d\Phi_B}{dt}\)	\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\) lub \(rot\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)	Uogólnione prawo indukcji Faradaya	Zmienne pole magnetyczne wytwarza wirowe pole elektryczne.
2.	\(\oint_{L}{\vec{H}\cdot}d\vec{l}=I+\frac{d\Phi_D}{dt}\)	\(\nabla \times \vec{H}=\vec{j}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\) lub \(rot \vec{H}=\vec{j}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\)	Uogólnione prawo Ampere'a	Zmienne pole elektryczne i prąd elektryczny wytwarzają wirowe pole magnetyczne.
3.	\(\oint_{S}{\vec{D}\cdot}d\vec{S}=Q\) lub \(\oint_{S}{\vec{D}\cdot}d\vec{S}=\int_{V}\rho dV\)	\(\nabla \cdot \vec{D}=\rho\) lub \(div \vec{D}=\rho\)	Prawo Gaussa dla pola elektrycznego	Ładunki elektryczne są źródłami pola elektrycznego.
4.	\(\oint_{S}{\vec{B}\cdot}d\vec{S}=0\)	\(\nabla \cdot \vec{B}=0\) lub \(div \vec{B}=0\)	Prawo Gaussa dla pola magnetycznego	Pole magnetyczne jest bezźródłowe. Pole magnetyczne nie ma źródeł ani ujść odpowiadających pojedynczym ładunkom magnetycznym. Linie pola magnetycznego tworzą zamknięte krzywe.

Zapamiętaj

Równania Maxwella są podstawowymi równaniami elektromagnetyzmu.

Zmienne pole magnetyczne wytwarza wirowe pole elektryczne.

Prąd elektryczny oraz zmienne pole elektryczne wytwarzają wirowe pole magnetyczne.

Ładunki elektryczne są źródłami pola elektrycznego.

Pole magnetyczne nie ma źródeł ani ujść odpowiadających izolowanym ładunkom magnetycznym.

Z równań Maxwella wynika istnienie fal elektromagnetycznych.

W próżni fale elektromagnetyczne rozchodzą się z prędkością:

\(c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}\)

Światło jest falą elektromagnetyczną.

W liniowym i izotropowym ośrodku materialnym zachodzą zależności:

\(\vec{D}=\varepsilon \vec{E}\)

\(\vec{B}=\mu \vec{H}\)

A oto oznaczenia symboli, jakie zostały użyte w powyższych wzorach:

\(\vec E\) - natężenie pola elektrycznego,
\(\vec D\) - indukcja elektryczna,
\(\vec B\) - indukcja magnetyczna,
\(\vec H\) - natężenie pola magnetycznego,
\(\vec j\) - gęstość prądu,
\(\Phi_D\) - strumień indukcji elektrycznej,
\(\Phi_B\) - strumień indukcji magnetycznej,
\(I\) - natężenie prądu,
\(\rho\) - gęstość ładunku elektrycznego,
\(\varepsilon\) - przenikalność elektryczna ośrodka,
\(\mu\) - przenikalność magnetyczna ośrodka,
\(\nabla\) - operator nabla,
\(\nabla\cdot\) - operator dywergencji,
\(\nabla\times\) - operator rotacji.
\(L\) - zamknięta krzywa całkowania,
\(S\) - powierzchnia rozpięta na krzywej \(L\) w prawach Faradaya i Ampère'a-Maxwella lub powierzchnia zamknięta w prawach Gaussa.

W liniowych ośrodkach izotropowych przenikalność elektryczna \(\varepsilon\) i magnetyczna \(\mu\) mogą być traktowane jako wielkości skalarne. W ośrodkach anizotropowych ich opis może wymagać tensorów, dlatego wektory \(\vec D\) i \(\vec E\), a także \(\vec B\) i \(\vec H\), nie muszą być równoległe.

Równania Maxwella w próżni bez ładunków i prądów

W obszarze próżni, w którym nie występują ładunki elektryczne ani prądy, czyli \(\rho=0\) i \(\vec j=0\), równania Maxwella przyjmują szczególnie prostą postać:

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \times \vec{B}=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

Wnioski z równań Maxwella

Z równań Maxwella wynikają między innymi następujące ważne wnioski:

mogą istnieć fale elektromagnetyczne,
w próżni fale elektromagnetyczne rozchodzą się z prędkością \(c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}\),
prędkość ta jest równa prędkości światła, co prowadzi do wniosku, że światło jest falą elektromagnetyczną,
z równań Maxwella wynika zasada zachowania ładunku elektrycznego.

Ciekawostki

Heinrich Hertz w latach osiemdziesiątych XIX wieku eksperymentalnie wytworzył i wykrył fale elektromagnetyczne, potwierdzając przewidywania teorii Maxwella. Maxwell wykazał, że zmienne pola elektryczne i magnetyczne mogą wspólnie rozchodzić się w przestrzeni w postaci fali elektromagnetycznej. Obliczona z jego teorii prędkość takiej fali w próżni okazała się równa znanej prędkości światła, co doprowadziło Maxwella do wniosku o elektromagnetycznej naturze światła.