Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła
01 O doświadczeniu
Przyspieszenie ziemskie \(g\) jest jedną z najważniejszych stałych fizycznych — określa siłę grawitacji na powierzchni Ziemi i wpływa na każdy ruch ciał. Jego wartość wynosi około \(9{,}81\ \frac{m}{s^2}\), ale zależy od szerokości geograficznej i wysokości nad poziomem morza.
Wahadło matematyczne to klasyczny i precyzyjny przyrząd do wyznaczania \(g\). Metoda polega na zmierzeniu okresu drgań \(T\) wahadła o dokładnie zmierzonej długości \(L\) i obliczeniu \(g\) ze wzoru na okres. Przewaga tej metody nad innymi: nie potrzeba skomplikowanej aparatury — wystarczy nić, ciężarek, linijka i stoper.
📌 Cel doświadczenia
- ✦ Wyznaczyć przyspieszenie ziemskie \(g\) metodą wahadła
- ✦ Przeprowadzić serię pomiarów i obliczyć niepewność \(\Delta g\)
- ✦ Porównać wynik z wartością wzorcową \(g = 9{,}81\ \frac{m}{s^2}\)
- ✦ Zrozumieć propagację niepewności dla funkcji \(g = f(L, T)\)
02 Model wahadła matematycznego
Zasada metody
Mierzymy dwie wielkości: długość wahadła \(L\) (linijką) oraz czas \(t\) trwania \(N\) pełnych drgań (stoperem). Z obu wyznaczamy \(g\).
Co mierzymy dokładnie
- \(L\) — od punktu zawieszenia do środka kulki
- \(t\) — czas N pełnych drgań (tam i z powrotem)
- \(T = t/N\) — okres jednego drgania
- \(g = 4\pi^2 L / T^2\) — wynik końcowy
💡 Im dłuższe wahadło i większe \(N\), tym mniejszy wpływ błędu reakcji człowieka na wynik. Dla \(L = 1\ m\) i \(N = 20\) można wyznaczyć \(g\) z dokładnością ~0,5%.
03 Wyprowadzenie wzoru na \(g\)
Wzór na okres wahadła
Dla małych wychyleń (\(\varphi < 15°\)) wahadło wykonuje ruch harmoniczny z okresem:
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]Odwrócenie wzoru
Podnosimy obie strony do kwadratu:
\[ T^2 = 4\pi^2 \cdot \frac{L}{g} \]Stąd wyznaczamy \(g\):
gdzie: \(L\) — długość wahadła [m], \(T\) — zmierzony okres drgań [s].
Przykład liczbowy
Dla wahadła o długości \(L = 0{,}994\ m\) i zmierzonym okresie \(T = 1{,}999\ s\):
\[ g = \frac{4\pi^2 \cdot 0{,}994}{(1{,}999)^2} = \frac{39{,}17}{3{,}996} \approx 9{,}802\ \frac{m}{s^2} \]Dlaczego \(g\) różni się w zależności od miejsca?
Wartość \(g\) nie jest wszędzie taka sama. Na równiku \(g \approx 9{,}78\ \frac{m}{s^2}\), na biegunach \(g \approx 9{,}83\ \frac{m}{s^2}\). W Polsce \(g \approx 9{,}810–9{,}814\ \frac{m}{s^2}\). Wynika to z dwóch efektów: spłaszczenia Ziemi przy biegunach (bliżej środka masy) i siły odśrodkowej (odejmuje od \(g\) na równiku). Dobre doświadczenie powinno dać wynik w tym przedziale!
04 Wirtualne laboratorium pomiarowe
Mierzysz czas \(t\) trwania \(N\) drgań wahadła o długości \(L\). Z każdego pomiaru program oblicza \(g_i = 4\pi^2 L / T_i^2\). Wynikiem końcowym jest średnia \(\bar{g}\) z niepewnością \(\Delta g\).
⚙️ Parametry eksperymentu
💡 Zalecane: \(L \approx 50–100\ cm\), \(N \geq 20\) — większe \(N\) redukuje wpływ czasu reakcji. \(\Delta L = 0{,}2\ cm\) dla linijki, \(\Delta t \approx 0{,}2\ s\) dla stopera ręcznego.
⏱️ Stoper
Kliknij Start, odlicz \(N\) pełnych drgań, kliknij Stop — czas automatycznie trafi do tabeli.
Wpisz pomiar ręcznie
📊 Tabela pomiarów
| # | t [s] | T = t/N [s] | gi [m/s²] | gi − ḡ [m/s²] | |gi − ḡ|² [m²/s⁴] | Odch. od 9,81 |
|---|
05 Typowe błędy
-
Błędny pomiar długości \(L\)
Mierzymy od punktu zawieszenia do środka kulki, nie do jej górnego krańca. Błąd 1 cm na \(L = 99\ cm\) daje ~1% błąd \(T\) i ~2% błąd \(g\). Ponieważ \(g \propto L\), błąd \(L\) przenosi się liniowo na \(g\).
-
Za małe \(N\) — dominuje czas reakcji
Dla \(N = 5\) i \(\Delta t = 0{,}2\ s\): \(\Delta T_{\text{sys}} = 0{,}04\ s\), co przy \(T \approx 2\ s\) daje 2% błąd \(T\) i aż 4% błąd \(g\). Dla \(N = 20\): tylko 0,5% błąd \(g\). Zawsze używaj \(N \geq 20\).
-
Mylenie pełnego drgania z połową
Jedno pełne drganie to ruch tam i z powrotem. Częsty błąd: liczenie każdego przejścia przez środek jako osobne drganie — wtedy \(N\) jest dwa razy za duże, a wyznaczone \(T\) dwa razy za małe, co daje \(g\) cztery razy za małe!
-
Zbyt duże wychylenie — nieliniowość
Wzór \(T = 2\pi\sqrt{L/g}\) obowiązuje dla \(\varphi < 15°\). Dla \(\varphi = 30°\) rzeczywisty \(T\) jest o ~1,7% dłuższy, co daje \(g\) o ~3,4% za małe.
-
Porównanie z „złą" wartością wzorcową
Wartość \(g = 9{,}81\ m/s^2\) to wartość średnia. W Polsce typowe wartości to \(9{,}810–9{,}814\ m/s^2\) w zależności od miejsca. Rozbieżność 0,05% może być realna geograficznie, nie błędem pomiaru.
-
Za mało powtórzeń serii
Minimum 5 serii pomiarów dla wiarygodnego \(s(g)\). Każda seria to oddzielne puszczenie wahadła i zmierzenie \(N\) drgań.
06 Podsumowanie i wnioski
Kluczowe wzory
\( g = \dfrac{4\pi^2 L}{T^2} \) — wzór roboczy
\( \dfrac{\Delta g}{g} = \sqrt{\left(\dfrac{\Delta L}{L}\right)^2 + \left(\dfrac{2\,u(\bar{T})}{\bar{T}}\right)^2} \) — niepewność względna
\( u(\bar{T}) = \sqrt{s(\bar{T})^2 + \left(\dfrac{\Delta t}{N}\right)^2} \) — łączna niepewność okresu
Ocena dokładności wyznaczenia \(g\)
| Błąd względny \(\Delta g / g\) | Odchylenie od 9,81 | Ocena |
|---|---|---|
| < 0,3% | < 0,03 m/s² | Doskonały wynik laboratoryjny |
| 0,3% – 1% | 0,03 – 0,10 m/s² | Dobry wynik szkolny |
| 1% – 3% | 0,10 – 0,29 m/s² | Akceptowalny — sprawdź \(L\) i \(N\) |
| 3% – 5% | 0,29 – 0,49 m/s² | Obarczony błędem metodycznym |
| > 5% | > 0,49 m/s² | Błąd gruby — szukaj pomyłki |
Dodatkowe wyjaśnienia do rachunku błędów
- Dlaczego \(\Delta T\) wpływa na \(g\) dwukrotnie silniej niż \(\Delta L\)? Ponieważ \(g \propto T^{-2}\) — T jest w mianowniku z potęgą 2. Z różniczki logarytmicznej współczynnik przy \(\Delta T / T\) wynosi 2, a przy \(\Delta L / L\) wynosi 1.
- Kiedy warto zwiększać \(N\), a kiedy \(n\)? Zwiększanie \(N\) (więcej drgań w jednej serii) zmniejsza \(\Delta T_{\text{sys}} = \Delta t / N\) — składową systematyczną. Zwiększanie \(n\) (więcej serii) zmniejsza \(s(\bar{T}) = s(T)/\sqrt{n}\) — składową losową. Gdy dominuje stoper (\(\Delta T_{\text{sys}} \gg s(\bar{T})\)), najpierw zwiększ \(N\).
- Wynik końcowy zapisujemy jako: \(g = \bar{g} \pm \Delta g\ \frac{m}{s^2}\), np. \(g = (9{,}803 \pm 0{,}05)\ \frac{m}{s^2}\). Liczba cyfr znaczących w \(\Delta g\) wyznacza zaokrąglenie \(\bar{g}\).
© medianauka.pl, , A-5046/
