Pomiar przyspieszenia ziemskiego w spadku swobodnym

Przejdź od razu do wirtualnego laboratorium

01 O doświadczeniu

Wszystkie ciała — niezależnie od masy — spadają w próżni z tym samym przyspieszeniem. To jeden z najgłębszych faktów fizyki: kulka stalowa i piórko, puszczone w rurze bez powietrza, docierają do dna jednocześnie. Przyspieszenie tego ruchu nazywamy przyspieszeniem ziemskim i oznaczamy literą \(g\). W naszej części Europy \(g \approx 9{,}81\ \text{m/s}^2\). W tym doświadczeniu wyznaczymy \(g\) z pomiaru — mierząc, jak długo ciało spada z danej wysokości.

Ciało puszczone swobodnie (bez prędkości początkowej) porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym. Drogę spadku \(h\) i czas \(t\) wiąże podstawowy wzór kinematyki:

Droga w spadku swobodnym (bez prędkości początkowej) \( h = \dfrac{1}{2}\,g\,t^2 \)

Przekształcając ten wzór, z pojedynczego pomiaru możemy wyliczyć \(g\):

Przyspieszenie ziemskie z pomiaru \( g = \dfrac{2h}{t^2} \)

Zwróć uwagę na kwadrat czasu w mianowniku. To kluczowe: \(g\) zależy od \(t^2\), więc nawet mały błąd pomiaru czasu psuje wynik podwójnie. Dla spadku z 1 metra czas wynosi zaledwie \(\sim\!0{,}45\) s — a czas reakcji człowieka przy stoperze to aż \(\sim\!0{,}2\) s. To właśnie sprawia, że spadek swobodny jest znacznie trudniejszy do zmierzenia stoperem niż powolny ruch jednostajny. Zobaczysz to w laboratorium na własne oczy.

📌 Cele doświadczenia

✦ Wyznaczyć doświadczalnie przyspieszenie ziemskie \(g\) ze spadku swobodnego
✦ Zrozumieć, dlaczego \(g\) zależy od \(t^2\) i co to oznacza dla błędów pomiaru
✦ Poznać czas reakcji jako błąd systematyczny, dramatycznie ważny dla krótkich czasów
rozszerzony Nauczyć się linearyzacji: wykres \(h\) od \(t^2\) jest linią prostą o nachyleniu \(g/2\)
rozszerzony Wyznaczyć \(g\) z nachylenia prostej regresji i policzyć jego niepewność
rozszerzony Odczytać błąd systematyczny z niezerowego wyrazu wolnego regresji

Strona dla dwóch poziomów

Materiał obejmuje zarówno poziom podstawowy (szkoła podstawowa, liceum poziom podstawowy), jak i poziom rozszerzony (liceum/technikum, klasy mat-fiz).

Na poziomie podstawowym puszczamy ciało z jednej wysokości, mierzymy czas kilka razy i liczymy \(g = 2h/\bar{t}^2\). Na poziomie rozszerzonym puszczamy ciało z serii różnych wysokości, rysujemy wykres \(h\) od \(t^2\) i wyznaczamy \(g\) z nachylenia prostej. Porównamy też dwie metody pomiaru czasu — stoper ręczny i fotobramkę — i odkryjemy, że stoper systematycznie zaniża \(g\).

02 Schemat doświadczenia

Klasyczny układ to pionowa wieża spadku. Na górze, na statywie, umieszczamy elektromagnes, który trzyma stalową kulkę. W chwili wyłączenia prądu kulka zostaje zwolniona i spada swobodnie z wysokości \(h\). Czas spadku mierzymy aż do momentu, gdy kulka dotrze do dna. Stalowa kulka jest gęsta i mała, więc opór powietrza jest pomijalny — ruch jest bardzo bliski idealnemu spadkowi swobodnemu.

Wieża spadku: elektromagnes → fotobramka

Dwie metody pomiaru czasu spadku

📐 Co dokładnie mierzymy?

Mierzymy dwie wielkości: wysokość \(h\) (taśmą mierniczą, jednorazowo, z dokładnością do milimetra) oraz czas spadku \(t\) (wielokrotnie). Czas startu wyznacza moment zwolnienia kulki (wyłączenie elektromagnesu), a czas końca — moment dotarcia do dna (przecięcie wiązki fotobramki lub uderzenie w podłoże). Z pary \((h, t)\) wyliczamy \(g = 2h/t^2\). W trybie rozszerzonym zbierzemy wiele par \((h, t)\) dla różnych wysokości i wyznaczymy \(g\) z nachylenia prostej na wykresie \(h\) od \(t^2\).

03 Pomiar czasu spadku i jego dokładność

Wysokość \(h\) mierzymy raz, taśmą mierniczą, z niepewnością rzędu milimetra — to składnik nieistotny. Cała trudność tkwi w czasie \(t\). A czas spadku jest bardzo krótki: z 1 metra kulka spada w \(\sim\!0{,}45\) s, z 2 metrów w \(\sim\!0{,}64\) s. Przy tak krótkich czasach metoda pomiaru decyduje o wszystkim.

⏱️ Stoper ręczny

Rozdzielczość: 0,01 s
Czas reakcji: \(\sim 0{,}2\) s
Niepewność: \(\Delta t \approx \pm 0{,}1\) s
Człowiek opóźnia stop — czas zawyżony, \(g\) zaniżone

📱 Stoper w telefonie

Rozdzielczość: 0,01 s
Czas reakcji: \(\sim 0{,}15\) s
Niepewność: \(\Delta t \approx \pm 0{,}08\) s
Lepsza ergonomia, ale wciąż błąd reakcji

🔬 Fotobramka + elektromagnes

Rozdzielczość: 0,001 s
Czas reakcji: brak
Niepewność: \(\Delta t \approx \pm 0{,}003\) s
Start i stop bez udziału człowieka

⚠️ Dlaczego \(g\) zależy od \(t^2\) — i czemu to groźne

Ponieważ \(g = 2h/t^2\), błąd czasu wchodzi do wyniku podwójnie. Jeśli zmierzysz czas o 10% za długi, kwadrat czasu będzie o ~21% za duży, a \(g\) wyjdzie o ~21% za małe. W spadku z 1 metra (\(t \approx 0{,}45\) s) opóźnienie reakcji \(0{,}1\) s to ponad 20% czasu — a po podniesieniu do kwadratu robi z tego ogromny błąd. To jest powód, dla którego stoper ręczny tak słabo nadaje się do spadku swobodnego, choć świetnie sprawdzał się przy powolnym ruchu jednostajnym. Im krótszy czas, tym dotkliwszy każdy ułamek sekundy.

Skąd biorą się różnice w wynikach?

Każdy pomiar czasu obarczony jest dwoma rodzajami niepewności:

1. Błąd losowy \(s(t)\) — różny w każdym pomiarze, raz większy, raz mniejszy. Powoduje, że powtarzane spadki z tej samej wysokości dają nieco różne czasy. Maleje przez uśrednianie wielu pomiarów: odchylenie standardowe średniej \(s(\bar{t}) = s(t)/\sqrt{n}\).

2. Błąd systematyczny \(\Delta t_{\text{sys}}\) — taki sam w każdym pomiarze. Przy stoperze ręcznym to przede wszystkim czas reakcji: zwykle opóźniasz stop, bo musisz najpierw zobaczyć upadek i dopiero potem wcisnąć przycisk. Mierzony czas jest więc systematycznie za długi, a wyliczone \(g\) — za małe. Tego błędu nie usuwa uśrednianie — nawet 1000 spadków zmierzonych stoperem ręcznym nie da \(g = 9{,}81\). Pomoże tylko zmiana metody (fotobramka).

Dla zainteresowanych: propagacja niepewności dla \(g = 2h/t^2\) rozszerzony

Reguła potęgowa — kwadrat czasu

Gdy wielkość liczymy ze wzoru z potęgami, względne niepewności składamy z odpowiednimi wykładnikami. Dla \(g = 2h\,t^{-2}\) niepewność drogi wchodzi z wykładnikiem 1, a niepewność czasu z wykładnikiem 2:

Propagacja niepewności względnej dla \(g = 2h/t^2\) \( \dfrac{u(g)}{g} = \sqrt{\left(\dfrac{u(h)}{h}\right)^2 + \left(2\,\dfrac{u(\bar{t})}{\bar{t}}\right)^2} \)

Stąd niepewność bezwzględna:

\( \displaystyle u(g) = g \cdot \sqrt{\left(\dfrac{u(h)}{h}\right)^2 + \left(2\,\dfrac{u(\bar{t})}{\bar{t}}\right)^2} \)

gdzie:

\(u(h)\) — niepewność pomiaru wysokości (z dokładności taśmy mierniczej)
\(u(\bar{t}) = \sqrt{s(\bar{t})^2 + \Delta t_{\text{sys}}^2}\) — łączna niepewność czasu (losowa średniej + systematyczna)
\(s(\bar{t}) = s(t)/\sqrt{n}\) — niepewność losowa średniej z \(n\) pomiarów

💡 Czynnik 2 przy \(u(\bar{t})/\bar{t}\) to bezpośredni skutek kwadratu czasu. Dlatego niepewność czasu jest dwukrotnie ważniejsza niż przy zwykłej prędkości \(v=s/t\) (gdzie czas wchodził z wykładnikiem 1). Spadek swobodny jest po prostu bardziej wymagający.

Dla zainteresowanych: linearyzacja \(h\!-\!t^2\) i \(g\) z nachylenia prostej rozszerzony

Zamiast liczyć \(g\) z każdego pomiaru osobno, możemy zebrać serię par \((h, t)\) dla różnych wysokości i wykorzystać fakt, że zależność jest liniowa względem \(t^2\). Podstawiając \(x = t^2\) do wzoru \(h = \tfrac{1}{2}g\,t^2\), otrzymujemy:

Postać liniowa: \(h\) w funkcji \(t^2\) \( h = \underbrace{\tfrac{1}{2}g}_{\text{nachylenie } a}\cdot t^2 + \underbrace{b}_{\text{wyraz wolny}} \)

Dopasowując prostą \(h = a\,x + b\) (metodą najmniejszych kwadratów), wyznaczamy:

Nachylenie \(a = g/2\) → \(g = 2a\). To główny wynik.
Wyraz wolny \(b\) — dla idealnego spadku powinien być \(\approx 0\) (przy \(t=0\) ciało jest na wysokości \(0\)). Niezerowy wyraz wolny zdradza błąd systematyczny! Stoper ręczny daje \(b < 0\) (ujemny), bo zawyżone czasy „przesuwają" prostą.

Niepewność nachylenia (a więc i \(g\)) liczymy ze standardowych wzorów regresji liniowej:

\( \displaystyle u(a) = s_{\text{reszt}}\sqrt{\dfrac{n}{n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2}}, \qquad u(g) = 2\,u(a) \)

gdzie \(s_{\text{reszt}} = \sqrt{\dfrac{1}{n-2}\sum\big(h_i - (a x_i + b)\big)^2}\) to odchylenie resztowe (rozrzut punktów wokół prostej). Im więcej punktów i im mniejszy rozrzut, tym mniejsza niepewność \(g\).

Wnioski praktyczne

Im większa wysokość \(h\), tym dłuższy czas \(t\), tym mniejszy względny wpływ czasu reakcji. Dlatego spadek z 3 m daje lepsze \(g\) niż z 0,5 m.
Fotobramka eliminuje obie składowe: losową (mały rozrzut) i systematyczną (brak reakcji człowieka). Dla spadku swobodnego nie jest luksusem, lecz praktyczną koniecznością, jeśli chcemy zbliżyć się do \(9{,}81\).
Seria wysokości + regresja daje pewniejszy wynik niż pojedynczy pomiar — uśrednia rozrzut i pozwala wykryć błąd systematyczny po wyrazie wolnym.

Doświadczenie - Spadek swobodny - Medianauka.pl — symulacja interaktywna

05 Typowe błędy podczas pomiaru spadku swobodnego

Czas reakcji — opóźniony stop stopera
Najpierw musisz zobaczyć upadek, a dopiero potem wcisnąć przycisk — to ~0,2 s opóźnienia. Mierzony czas jest za długi, więc \(g = 2h/t^2\) wychodzi za małe. To główne źródło błędu i powód, dla którego stoper ręczny tak słabo radzi sobie ze spadkiem.
Spadek z małej wysokości
Z 0,3 m kulka spada w ~0,25 s — krócej, niż trwa reakcja człowieka! Względny błąd czasu jest wtedy ogromny. Wybieraj jak największą bezpieczną wysokość (1–3 m), by wydłużyć czas spadku.
Lekkie ciało i opór powietrza
Kartka papieru czy piłeczka styropianowa szybko hamują w powietrzu — ich ruch nie jest spadkiem swobodnym, a zmierzone \(g\) wyjdzie za małe. Używaj gęstej, małej kulki (stalowej, szklanej), dla której opór powietrza jest pomijalny.
Nadanie prędkości początkowej
Wzór \(h = \tfrac{1}{2}gt^2\) zakłada start ze spoczynku (\(v_0 = 0\)). Jeśli kulkę popchniesz w dół, spadnie szybciej i \(g\) wyjdzie za duże; jeśli podrzucisz — za małe. Elektromagnes zwalnia kulkę idealnie ze spoczynku — dlatego jest lepszy niż puszczanie z palców.
Mierzenie wysokości do złego punktu
Wysokość \(h\) to droga środka kulki od pozycji startowej do miejsca zatrzymania pomiaru (wiązki fotobramki lub podłoża). Mierzenie do innego punktu wprowadza stały błąd — pojawi się jako niezerowy wyraz wolny na wykresie \(h\!-\!t^2\).
Pojedynczy pomiar zamiast serii
Jeden spadek nie pozwala ocenić rozrzutu ani wykryć błędu systematycznego. Minimum 3–5 powtórzeń z każdej wysokości (tryb prosty), a najlepiej seria różnych wysokości i regresja (tryb rozszerzony), która uśrednia rozrzut i ujawnia błąd systematyczny.
Liczenie \(g\) z czasu, a nie z \(t^2\)
Częsty błąd rachunkowy: podstawienie \(t\) zamiast \(t^2\) do wzoru. Pamiętaj — w spadku swobodnym droga rośnie z kwadratem czasu. Przy linearyzacji zawsze odkładaj na osi poziomej \(t^2\), nie \(t\), inaczej wykres nie będzie prostą.

06 Podsumowanie i wnioski

Kluczowe wzory podstawowy

\( h = \dfrac{1}{2}\,g\,t^2 \) — droga w spadku swobodnym (start ze spoczynku)

\( g = \dfrac{2h}{t^2} \) — przyspieszenie ziemskie z pojedynczego pomiaru

\( \bar{t} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} t_i \) — średni czas z \(n\) spadków

\( g = \dfrac{2h}{\bar{t}^2} \) — przyspieszenie ze średniego czasu

\( \Delta g \approx g \cdot 2\cdot\dfrac{t_{\max} - t_{\min}}{2\bar{t}} \) — przybliżona niepewność (czynnik 2 z kwadratu czasu)

Zapis wyniku: \( g = \bar{g} \pm \Delta g \)

Dla zainteresowanych: linearyzacja i pełna propagacja niepewności GUM rozszerzony

\( h = \tfrac{1}{2}g\,t^2 + b \) — postać liniowa: \(h\) jako funkcja \(x = t^2\), nachylenie \(a = g/2\)

\( g = 2a \) — przyspieszenie z nachylenia prostej regresji

\( u(g) = 2\,u(a) \) — niepewność \(g\) z niepewności nachylenia

\( \dfrac{u(g)}{g} = \sqrt{ \left(\dfrac{u(h)}{h}\right)^2 + \left(2\dfrac{u(\bar{t})}{\bar{t}}\right)^2 } \) — propagacja dla pojedynczego pomiaru \(g=2h/t^2\)

\( u(\bar{t}) = \sqrt{ s(\bar{t})^2 + \Delta t_{\text{sys}}^2 } \) — łączna niepewność czasu (GUM)

💡 Czynnik 2 przy niepewności czasu to skutek kwadratu \(t\). Dlatego spadek swobodny jest bardziej czuły na błąd czasu niż pomiar prędkości \(v = s/t\) — i dlatego fotobramka jest tu niemal niezbędna do uzyskania \(g\) bliskiego \(9{,}81\).

Hierarchia źródeł niepewności (od największych)

Źródło	Typowy rząd wielkości	Charakter
Czas reakcji (stoper ręczny)	0,1–0,2 s	systematyczny
Rozrzut wciskania stopera	0,05–0,1 s	losowy
Opór powietrza (lekkie ciało)	zależny od ciała	systematyczny
Prędkość początkowa (popchnięcie)	zmienny	systematyczny
Niedokładność pomiaru wysokości	1–3 mm	losowy
Rozdzielczość fotobramki	0,001 s	losowy

Co zapamiętać z tego doświadczenia

\(g\) zależy od \(t^2\). Błąd czasu wchodzi do wyniku podwójnie — dlatego pomiar czasu jest tu krytyczny, a krótkie spadki są szczególnie zdradliwe.
Linearyzacja \(h\!-\!t^2\). Wykres \(h\) od \(t^2\) jest prostą o nachyleniu \(g/2\). To zamienia zależność kwadratową w wygodną prostą i pozwala wyznaczyć \(g\) z nachylenia, uśredniając wiele pomiarów.
Wyraz wolny zdradza błąd systematyczny. Idealnie prosta przechodzi przez \((0,0)\). Ujemny wyraz wolny to ślad czasu reakcji.
Stoper ręczny zaniża \(g\). Opóźniony stop wydłuża czas, a uśrednianie tego nie naprawi — pomoże tylko fotobramka.
Najlepsza praktyka: gęsta mała kulka, elektromagnes (start ze spoczynku), fotobramka, seria różnych wysokości i wyznaczenie \(g\) z regresji.

Wirtualne laboratorium

Głównym celem wirtualnego laboratorium jest umożliwienie uczniom przeprowadzania doświadczeń na poziomie szkolnym.