Wirtualne laboratorium · kinematyka

Częstotliwość obrotów — analiza nagrania

Nagraj obracający się obiekt ze znacznikiem (naklejka, marker), oznaczaj jego położenie klatka po klatce i wyznacz prędkość kątową, okres oraz częstotliwość z dopasowania liniowego \(\varphi(t)\).

Pełny cykl badawczy: hipoteza (ruch jednostajny kołowy, \(\varphi = \omega t + \varphi_0\)) → własny pomiar (kąty z Twojego nagrania) → automatyczna weryfikacja (dopasowanie prostej). To Ty dostarczasz dane — laboratorium ich nie symuluje.

Model fizyczny

Obiekt obracający się ruchem jednostajnym pokonuje w każdej sekundzie taki sam kąt. Kąt \(\varphi\) zawarty między osią poziomą a wektorem do znacznika rośnie liniowo z czasem:

\[ \varphi(t) = \omega\,t + \varphi_0 \]

Nachylenie prostej dopasowanej do punktów \((t_i,\varphi_i)\) daje prędkość kątową \(\omega\). Wyznaczamy z niej:

\[ T = \frac{2\pi}{\omega}, \qquad f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} \]

Propagacja niepewności (GUM)

Dopasowanie liniowe metodą najmniejszych kwadratów dla \(n\) punktów daje niepewność \(\omega\):

\[ u(\omega) = \sqrt{\frac{S_{\varepsilon^2}}{(n-2)\,D} \cdot S_{tt}}, \quad D = n\,S_{tt} - S_t^2 \]

gdzie \(S_{\varepsilon^2}\) — suma kwadratów residuów, \(S_t = \sum t_i\), \(S_{tt} = \sum t_i^2\). Składowe systematyczne:

niepewność kąta \(u_\varphi = 3{,}0°\) — dokładność kliknięcia znacznika
niepewność czasu \(u_t = 0{,}5/\mathrm{fps}\) — niepewność numeru klatki

Niepewności okresu i częstotliwości:

\[ u(T) = \frac{2\pi}{\omega^2}\,u(\omega), \qquad u(f) = \frac{u(\omega)}{2\pi} \]

Jak dobrze nagrać film

Kamera prostopadle do płaszczyzny obrotu — inaczej kąty będą zniekształcone.
Wyraźny znacznik na krawędzi obiektu: kolorowa naklejka, kawałek taśmy. Im dalej od osi, tym większy ruch w pikselach i mniejszy błąd kąta.
Wysokie fps (60 lub 120) dla szybkich obrotów — kilkanaście klatek na obrót daje dobrą dokładność.
Stałe oświetlenie — bez migotania (unikaj żarówek przy 50 Hz).
Plik zostaje w przeglądarce — nic nie jest wysyłane.