Waga Cavendisha

Dwie małe kule \(m\) na ramieniu długości \(2L\) są przyciągane przez dwie duże kule \(M\). Para sił grawitacji tworzy moment skręcający \(\tau\), który ugina nić o kąt \(\theta\). Model uproszczony: przyjmujemy, że siły działają prostopadle do ramienia (strzałki na schemacie są poglądowe).

---

Krok 1 – równowaga momentów

Moment sprężystości nici (prawo Hooke'a dla skręcania):

\(\tau_\mathrm{nić} = \kappa\,\theta\)

Moment pary sił grawitacyjnych (dwie pary M–m, każda na ramieniu \(L\)):

\(\tau_\mathrm{graw} = 2F \cdot L = 2\,\dfrac{GmM}{d^2}\,L\)

W równowadze \(\tau_\mathrm{nić} = \tau_\mathrm{graw}\):

\(\kappa\,\theta = \dfrac{2GmML}{d^2}\)

---

Krok 2 – wyznaczenie κ z okresu drgań

Okres drgań wahadła skrętnego (moment bezwładności \(I \approx 2mL^2\)):

\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{I}{\kappa}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{2mL^2}{\kappa}}\)

Stąd: \(\kappa = \dfrac{8\pi^2 mL^2}{T^2}\)

---

Krok 3 – wzór na G

Podstawiając \(\kappa\) do równania równowagi i skracając \(m\):

\(G = \dfrac{4\pi^2 L\, d^2\, \theta}{T^2\, M}\)